0303

304

V. Funkcje wielu zmiennych

Jeśli podstawimy tu

n_i = x[-x_i,    b_i = x'_i'—x'_i,    skąd a_i + b_i = x” — x_; (/= 1,2, ...,n),

o otrzymamy

- ^x;)² ?£ ^ Z W - X|)² + ^ Z (x" - x;.)² ,

co jest równoważne z nierównością (2). Tak więc ta istotna własność odległości przysługuje także przestrzeni n-wymiarowej.

W przestrzeni n-wymiarowej można rozpatrywać także krzywe ciągłe.

Wiadomo [106], że równania

x=<p(t), y = yf(t),

gdzie ę(t) i y/(t) są funkcjami ciągłymi parametru t w pewnym przedziale <r', t"}, wyrażają na płaszczyźnie krzywą ciągłą. Analogicznie, za pomocą trzech funkcji ciągłych

x=<p(t), y = M0, z = *(0

może być wyrażona krzywa ciągła w przestrzeni zwykłej. Naśladując to, rozpatrzymy teraz n funkcji ciągłych parametru 1:

Xi = <Pi (0,    x₂ = <p₂(t),    ...,    x„=<p_n(t)

Wówczas zbiór punktów

(MO, MO, •••, MO)

otrzymany dla różnych wartości parametru t tworzy krzywą ciągłą w przestrzeni n-wymiarowej. Przyjmując

x\ = <Pi(t'),    , X;=MO; ^xi'=MO, , ^xn =¥>„(<")

możemy powiedzieć, iż krzywa ta łączy punkty

M'(xj, xź, ..., x'_n) i M"(xi', x+ , ..., x").

W wypadku gdy wszystkie funkcje ę_t, ę₂, ę_n są liniowe, krzywa ta przechodzi w prostą

^xi ^{= a}i t + Pi ,    ..., x„ = cc_nt + P„ ;

zakładamy tu, że współczynniki <*],    , a„ nie są jednocześnie równe zeru, a f zmienia się

od -oo do +oo. Będziemy uważali, że punkty prostej następują po sobie w porządku wzrastania parametru. Jeśli t'<t<t", to z odpowiadających tym wartościom parametru punktów M\ M, M" właśnie punkt M leży między dwoma pozostałymi, gdyż następuje on po M' i poprzedza Af". Przy tych założeniach łatwo jest wykazać, że odległość między tymi punktami spełnia zależność co jest charakterystyczne dla prostej w zwykłej przestrzeni.