0337

338

V. Funkcje wielu zmiennych

Jeśli przy M-*M₀ dąży do zera stosunek MKlp, to tym bardziej jest to słuszne dla stosunku MK/r, ponieważ r>p. Załóżmy teraz, że MK/r dąży do zera i udowodnimy, że wówczas dąży również do zera MKlp. W tym celu wystarczy udowodnić, że przy M-*M₀ stosunek rjp pozostaje ograniczony.

Odcinek MK równa się z dokładnością do znaku wyrażeniu

z-Z = z-z₀-A(x-x₀)-B(y-y₀) lub, jeśli wprowadzimy oznaczenia

x-x₀=Ax, y-y₀=Ay, z-z_c=Az=Af(x₀,y₀),

"'^yraŻ“^iu    Jz-(AJx+BJy).

Wobec przyjętego założenia będziemy mieli (przynajmniej dla punktów M dostatecznie bliskich M„):

\Az—(AAx+BAy)\<łr=$\jAx² + Ay²+Az¹,

tak że

<|4N + |B|

p

\*y 1! ¹

P 2

2

lub po wzmocnieniu nierówności

Stąd    .    ,

^l^dAl + lBD+l,

a zatem

^<2<|'^i|+|b|+i)'

co było do udowodnienia.

Tak więc płaszczyzna (6) będzie styczna do powierzchni wtedy i tylko wtedy, gdy stosunek

Az—(AAx + BAy)

P

dąży do zera wraz z p, tj. gdy zachodzi równość

Az = Af(x₀, y₀) = AAx + BAy + o(p)

(porównaj (4)).

Dochodzimy do ostatecznego wniosku. Na to, by powierzchnia z=f{x, y) miała w punkcie M₀(x₀, y₀, z₀), gdzie z₀=f(x₀,y₀), płaszczyznę styczną(^ł), potrzeba i wystarcza, żeby w punkcie x=x₀, y—y₀ funkcja f(x,y) była róźniczkowalna.

O Mamy na myśli płaszczyznę hie równoległą do osi z.