10 (39)

m

9. Funkcje wielu zmiennych

obliczana w punkcie (a, b) określa odwracalny operator liniowy w Rⁿ; znaczy to, że jej kolumny tworzą liniowo niezależny układ, lub równoważnie, że jej wyznacznik nie jest równy 0 (zobacz twierdzenie 9.36). Jeżeli poza tym (59) jest spełnione przy x = a i y = b, to teza twierdzenia mówi, że (59) może być rozwiązane przez podanie wartości x_u..., w terminach » JV dla dowolnego y leżącego blisko b oraz że terozwiązania są różniczkowaln^M funkcjami y.

Dowód. Określmy F za pomocą równości <⁶°)    & _f,-. .    .    ,    f(x,.y) = (f(x, y), y), ((x,y)e£). ,

F jest wtedy ^'-odwzorowaniem £ w R"^+m. Pokażemy, że F'(a, b) jest odwracalnym elementem L(R"^+m);

Ponieważ f(a, b) = 0, więc f(a+h, b+ k) jf v4(h, k)+r(h, k), gdzie r jest resztą występującą W definicji f'(a, b). Ponieważ

F(a+h, b+k)-F(a, b)~ (f(a+ h, b+ k), k) = U(h, k), k)-^(r(b» k),^), w

więc operator liniowy F'(a, b) odwzorowuje (h, k) w (zl(h, k), k). Jeżeli ten obraz jest równy 0. to zi(h, k) = 0 oraz k « 0, a więc zl(h, 0) = 0,i twierdzenie 9.27 mówi, żeh = 0. Zatem F'(a, b> jest 1 i j*a więc (twierdzenie 5 j jest odwracalną Operacją liniową.

Twierdzenie Ó funkcji odwrotnej zastosowane do funkcji F pokazuje więc, że istnieją zbiory otwarte U i    takie, że (a, b) e U, (Ó, bjs Voraz F jest wzajemnie jednoznacznym

odwzorowaniem Urn V.

Niech W będzie zbiorem; tych wszystkiej y,® R"', dla których (0,<y)* V< Zauważmy, że be W Z otwartości K wynika, że Wjest też otwarty. Jeżeli y e W, to (Ot y) =mF(x, y)dla pewńeger (x,_:y) e U. Z^:(60) dla tego x mamy f(x, y) = 0.i¹ ■

Przypuśćmy, że dla tego samego y istnieje x' takie, że (x'» y) e U i f(x', y) = 0. Wtedy

F(x',    y) *’(l(x, y), y)'= F(x, y),

a ponieważ "F jest 1: 1 na V wynika stąd, §flp#P0! —

Dowodzi to pierwszej części twierdzenia. _:

Dla dowodu drugiej części określmy dla y e W g(y) tak, aby (g(y), y) ⁶ V i aby zachodziło (57). Wtedy

(61)    F(g(y),y) = (0,y) (y e W

Jeżeli przez G oznaczymy odwzorowanie Fwli odwrotne do F, to G e fr na mocy twierdzenia o funkcji odwrotnej* i z (61) mamy

(62)    (g(y), y) = G(0, y) ,(y® W

Ponieważ G €*<?', więc(62) pokazuje że i ge^”.

Wreszcie, aby obliczyć g'(b) niech (g(y). y)= #(y). Wtedy