0373

374

V. Funkcje wielu zmiennych

Ponieważ forma określona ujemnie po zmianie znaków wszystkich wyrazów przechodzi w formę określoną dodatnio i na odwrót, łatwo jest otrzymać charakterystykę formy określonej ujemnie. Forma taka jest scharakteryzowana przez ciąg nierówności, który powstaje z napisanego wyżej przez zmianę znaku > na < w nierówności pierwszej, trzeciej, piątej, itd.

Posługując się tymi pojęciami sformułujemy warunek dostateczny dla istnienia ekstremum w punkcie stacjonarnym.

Jeżeli druga różniczka, tzn. forma kwadratowa

n

(10)    £ a_ikAx_tAx_k

i.k = 1

o współczynnikach określonych wzorami (6), jest określona dodatnio (ujemnie), to w badanym punkcie (x°, x°,. ■ ■, x°) jest minimum (maksimum) właściwe.

Dla dowodu wprowadźmy odległość

p = \/Axl + A x\ +... + A x\

od punktu (x°, x%, ..., jc°) do punktu (x_x,x₂, ..., x„). Wynosząc w (8) za nawias p² i oznaczając

Ax,

—=€i    (i=l,2, ...,n),

P

sprowadzamy A do postaci

(11)    ^=łp²{ i aM+ i 0tM_k}.

!,*«■ 1    i,k=l

Liczby nie są jednocześnie równe zeru, jeżeli więc forma (10) jest określona dodatnio, to pierwsza suma w nawiasach we wzorze (11) jest zawsze dodatnia. Co więcej, ponieważ

(12)    ic?-i.

1

istnieje taka dodatnia liczba m, że dla wszystkich możliwych wartości jest

R

i, 1

Istotnie suma ta jest funkcją ciągłą argumentów w całej przestrzeni, w szczególności

zaś w zbiorze J( tych punktów (£i,    .....Ę,_n), które spełniają równanie (12) (powierzchnia

kuli n-wymiarowej). Zbiór ten, jak łatwo widać, jest domknięty, tzn. zawiera wszystkie swe punkty skupienia. Zatem na mocy twierdzenia Weierstrassa (ustęp 173, patrz uwagę po dowodzie tego twierdzenia) suma ta osiąga w Jt najmniejszą wartość m, oczywiście dodatnią (jak i wszystkie jej wartości w Jf).

Dla dostatecznie małych p druga suma w (11) jest wobec (7) oczywiście mniejsza od m co do wartości bezwzględnej, tak że całe wyrażenie w nawiasie jest wówczas dodatnie.