0369

370

V. Funkcje wielu zmiennych

Przyrosty Ax, Ay są różnicami x—x₀,y—y₀\ wszystkie pochodne obliczone są w pewnym punkcie    (x_o + 6Ax,y_o + 0Ay) (O<0<1).

Wprowadzimy do rachunku wartości tych pochodnych w samym punkcie (*₀, y₀) przyjmując oznaczenia

(3)    /x^ł (^x0 > J\>) ⁼ 11 > fxy(^x0 > yo)~^all >    fy*(^x0> yo)~^a22 oraz

f^(x₀ + dAx, y₀ + 0Ay) = a _1t + a_{x t},    /"(...) = u ₁₂ + a₁₂,    f’l(...) = a₂₂ + a₂₂,

przy czym wobec ciągłości pochodnych drugiego rzędu wszystkie

(4)    ay-* 0, gdy Ax~* 0 i zfy-»0.

Różnicę A możemy teraz napisać w postaci

A =Ą(a₁₁Ax²+2a₁₂AxAy + a₂2Ay²+a_llAx² + 2(x₁2AxAy + a22Ay²}.

Jak się przekonamy, zachowanie się różnicy A zależy istotnie od znaku wyrażenia a_{t t} a₂₂ - a\₂ ■

Dla ułatwienia rozważań wprowadzimy współrzędne biegunowe wybierając jako biegun badany punkt (x₀, y₀) i prowadząc przez niego oś biegunową równolegle do osi x (rys. 105). Niech p-= VAx²+Ay² będzie odległością między punktami (x₀, y₀) i (*> y), a <p niech oznacza kąt utworzony przez łączący je odcinek z osią biegunową. Wówczas

Ax = pcosq>,    Ay = p sinę>,

i interesującą nas różnicę A można napisać w postaci

A =ip² {a_n cos² ę>+2a₁₂cos ęsin q> + a₂₂sin² ?ła_u cos² ę +

+ 2a₁₂cos ^sin p + a₂₂sin² tp} .

1° Przypuśćmy najpierw, że a_łx a₂₂ — °12 >0.

W tym przypadku flnO₂₂>0, zatem a_u#0 i pierwszy trójmian w nawiasach {...} można przedstawić tak:

(5)    -[(a_ucos ę> + a₁₂sin ę?)²+(fln a₂₂ — aj₂)sin² <p\.

^an

Widać, że wyrażenie w nawiasach [...] jest zawsze dodatnie, tak że wspomniany trójmian nie będąc dla żadnej wartości ę równy zeru zachowuje znak współczynnika _x. Jego wartość bezwzględna, jako ciągła w przedziale <0, 2n> funkcja zmiennej ę, ma najmniejszą wartość m oczywiście dodatnią [85]:

|a_ncos²ę>-l-2a₁₂cos ę>sin ę> + a₂₂sin² <P\> m> 0.