0365

366

V. Funkcje wielu zmiennych

odcinek prostoliniowy łączący (x₀, y₀) i {x₀+Ax, y₀+Ay) nie wyszedł poza rozpatrywane otoczenie punktu (x₀, y₀).

Trzeba udowodnić, że przy przyjętych założeniach o funkcji / (x, y) zachodzi następująca równość:

(9)    Af(x₀, y₀)=f(x₀ + Ax, y₀ + Ay)-f(x₀, y₀) =

— df(x₀, y₀) + -~rd²f(x_Q,y₀) + ... + ~dⁿf(x₀,y₀) +

2! «!

+ ——— dⁿ⁺¹f(x₀+OAx, y₀ + 9Ay) (O<0<1) ,

(n + 1)!

przy czym występujące w różnych potęgach po prawej stronie różniczki dx i dy są równe właśnie tym przyrostom Ax i Ay zmiennych niezależnych, które wywołały przyrost funkcji po lewej stronie.

Dla dowodu, tak jak i w ustępie 183, wprowadzimy nową zmienną niezależną t, przyjmując

(10)    x = x₀ + tAx,    y = yo + tAy    (O^f^l).

Podstawiając te wartości x i y do funkcji f(x, y) otrzymamy funkcję złożoną jednej zmien-

*'    F(t)=f(x₀ + tAx, y₀ + tAy).

Wiemy już, że wyprowadzone przez nas wzory (10) przedstawiają geometrycznie odcinek prostoliniowy łączący punkty M₀(x₀, y_Q) i M_x(x₀ + Ax, y₀ + Ay).

Widzimy teraz, że zamiast przyrostu

Af{x₀, y₀)=f(x₀ + Ax, y₀ + Ay)-f(x₀, y₀)

możemy rozpatrywać przyrost funkcji pomocniczej

AF(0) = F(l) — F(0),

gdyż oba te przyrosty są równe. Funkcja F(t) jest jednak funkcją jednej zmiennej i ma [192] n + 1 pochodnych ciągłych. Stosując więc do niej wyprowadzony przedtem wzór Taylora otrzymamy zatem

(11)    JF(0) = F(1)-F(0) =

— dF(0) + -~d²F{0) + ... +-—- rTF (0)+-——— d"⁺ⁱF(0) (O<0<1) ;

2!    n!    (n + 1)!

przy tym różniczka dt występująca w różnych potęgach po prawej stronie równa się At = = 1-0=1.

Korzystając teraz z tego, że przy liniowej zamianie zmiennych nie zmienia się kształt także i różniczek wyższych rzędów, możemy napisać, że

dF(0)=fź(x_o, y₀)dx+fy(x₀, y₀)dy = df(x₀, y₀),

d²F(0) =/_x"(x₀, y₀)dx² + 2/"(x₀, y₀)dxdy +f^(x₀, y₀)dy² = d²f(x₀, y_Q),