0321

322

V. Funkcje wielu zmiennych

się funkcją złożoną zmiennej t :

F(t) =f(x₀ + t(x_l-x₀),y₀ + t(y_l-y₀))    (0 < t < 1)

oczywiście ciągłą, na mocy twierdzenia z poprzedniego ustępu, wobec ciągłości zarówno funkcji /(x, y) jak i funkcji liniowych podstawionych na miejsce jej argumentów. Dla funkcji F(t) mamy jednak

F(0)=f(x_o,y_o)<0 ,    F(l)=/(Xi, y_t)>0 .

Stosując do funkcji F{t) jednej zmiennej udowodnione już w ustępie 80 twierdzenie dochodzimy do wniosku, że F(t') =0 dla pewnej wartości t' między 0 a 1. Przypominając sobie definicję funkcji F{t), mamy więc

/(x₀ + t'(x i - x₀), y₀ + t'(y i - y₀)) = 0

Punkt M'(x', y'), gdzie x'=x₀ + /'(x₁ -x₀), y' =yo + t'(y_l -j₀), jest więc szukanym punktem.

Wynika stąd, jak i w ustępie 82, drugie twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego, które zresztą można by też otrzymać od razu.

Czytelnik widzi, że przejście do przestrzeni n-wymiarowej (dla n>2) nie stwarza żadnych trudności, ponieważ w obszarze ^-wymiarowym spójnym punkty również mogą być połączone łamaną, wzdłuż której funkcja zależy od jednego parametru.

172. Lemat Bolzano-Weierstrassa. W dalszym ciągu wykładu potrzebne nam będzie uogólnienie lematu Bolzano-Weierstrassa [41] na przypadek ciągu punktów w przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów. Jak zawsze ograniczymy się do przypadku płaskiego.

Lemat Z dowolnego ciągu ograniczonego punktów

M₁(x_l,y₁),M₂(x₂,y₂), ..., M_n(x„, y_n), ...

można zawsze wybrać taki ciąg częściowy

^ni(x_ni, y_n,), M_n2(x_n2, J^?„₂), • *•, M„_k(x„_k, y_nii), ...

(n_t <n₂ <... <n_k<    +oo),

który jest zbieżny do pewnego punktu granicznego.

Dowód I przeprowadzimy przenosząc tutaj rozumowanie, którym posługiwaliśmy się w wypadku liniowym [41],

Wskutek ograniczoności danego ciągu punktów istnieje taki skończony prostokąt <a, b; c, d}, w którym są one wszystkie zawarte. Podzielmy zarówno przedział (a, b) wartości x, jak i przedział <c, d} wartości v na połowy

V'—)'    (— •*) ¹    (^c-—/’    \T~’ ^dJ‘