0329

330

V. Funkcje wielu zmiennych

Pochodna ta nazywa się pochodną cząstkową funkcji f (x, y, z) względem x w punkcie

(,x₀,y₀, 2o)-

Jak widać w definicji tej nie wszystkie współrzędne są równoprawne, y₀ i z₀ są bowiem ustalone, x zaś zmienia się dążąc do x₀.

Pochodną cząstkową oznaczamy jednym z następujących symboli:

du

dx

Sf(x₀,y₀,z₀)

dx

(^ł)>

K, fx(x₀,y₀,zo),

D_xu, DJ(x₀,y₀,z₀).

Zwracamy uwagę na to, że litera x na dole w tych oznaczeniach wskazuje tylko, względem której zmiennej obliczamy pochodną i nie jest związana z tym, w jakim punkcie (x₀, y₀, z₀) ją obliczamy (²).

Uważając analogicznie x i z za stałe, a y za zmienne można rozpatrywać granicę

A_yu f(x₀,y₀+Jy,z₀)-f(x₀,y_Q,z₀) lim — = lim-—-

4y->0 Ay Ay-0    dy

Granica ta nazywa się pochodną cząstkową funkcji f (x, y, z) względem y w punkcie (x₀, Jo, ^zo) i oznacza się ją symbolami analogicznymi do poprzednich:

du

dy’

df(x o, y₀, z₀)

dy

fy(xo,y₀,z₀), D_yu,    D_yf(x₀,y₀,z₀).

Analogicznie określamy także pochodną cząstkową funkcji f (x, y, z) względem z w punkcie (x₀, Jo. Zo)-

Samo obliczanie pochodnej cząstkowej nie jest w istocie niczym nowym w stosunku do obliczania pochodnej zwykłej.

Przykład 1. Niech u = x' (¹>0); pochodne cząstkowe tej funkcji są następujące:

du

djf

-yx

du.

dy

=x^ylnx.

Pierwszą z nich obliczamy jako pochodną funkcji potęgowej x (dla y=const), a drugą — jako pochodną funkcji wykładniczej y (dla Jc = const).

x

Przykład 2. Jeśli «=arctg —, to

y

du y    du x

dx x²+y²’    dy    x²+y²'

^dl

dx’

1

C.G.J. Jacobi zaproponował używać d (zamiast d) na oznaczanie pochodnej cząstkowej. (²) I tutaj symbole jednolite

fi, bJ

można rozpatrywać jako oznaczenia funkcyjne pochodnej cząstkowej względem x. Podobnych uwag nie będziemy już powtarzali w przyszłości.