Matematyka 2 5

104 II. Hachunek różniczkowy junkcji wielu zmiennych

POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych nazywane są tez pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu w odróżnieniu od pochodnych cząstkowych wyższych rzędów, o których mówimy niżej.

Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych są również funkcjami tych zmiennych i można mówić o ich pochodnych cząstkowych. Dla przykładu: niech z= x'y-3y\ (x.y) e R^:, wówczas z^ = 2xy, z; = x^:-óy oraz (z;)^ = 2y,    (z'j;=2x, (zj); = 2x, (<>J = -6

dla (x.y) gR^:.

Pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych funkcji f nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f, przy czym przyjmujemy oznaczenia

dx_k dXj

lub

^M    )x.    •

W szczególności dla funkcji dwóch zmiennych z = f(x,y) mamy

d^2f	d,df d^2f dy dx dydx *
“ftr’
)S*L ^; ćxcV	d df ć^f dy% *~df
III	<ęn-*s

j5,df.

&Cdx

lub

Funkcja n zmiennych może mieć n^: pochodnych cząstkowych rzędu drugiego, przy czym pochodne

^gdy '*^k

nazywamy pochodnymi cząstkowymi mieszanymi rzędu drugiego.

Analogicznie definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów:

Pochodne cząstkowe rzędu m funkcji f są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu m - I funkcji f.

Oznaczenia pochodnych cząstkowych rzędu m są analogiczne do stosowanych wyż.ej w przypadku m = 2. Dla przykładu

ćk^Kdxdy fa²dy’    d¹² dydx² '

A    d    d^i

a..' «    » .) ~    ^— _    _

d , Pr , a⁴r d

ś£TV . _    ^    ■> •    ;v.    - ł '    - i

lub odpowiednio:

PRZYKŁAD 5.5. Znajdziemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji określonych wzorami:

a) f(x.y) = x-y-e"\    b) g(x,y,z) = xV - y^:z + 3z^:.

Obliczamy

b) g;=2xy\ g; =2x^:y-2yz, g^ = -y²+6z.

Zauważmy, że w powyższym przykładzie otrzymaliśmy Qy=r;; oraz g”_y=_g;_x.    fe-gj

Zwróćmy uwagę na to, że pochodne cząstkowe, które okazały się równe. są pochodnymi cząstkowymi mieszanymi rzędu drugiego, różniącymi się tylko kolejnością różniczkowania względem zmiennych. Przykład len jest ilustracją twierdzenia, które podajemy niżej.

TWIERDZENIE 5.1 (Schwarza). Jeżeli funkcja f zmiennych

X,,. ..x„ ma na pewnym otoczeniu punklu p„ = (x'_l'.....x^) pochodne

cząstkowe mieszane

dx_kSx, ’ dXjdx_k

1

^s1l. one ciągłe w punkcie p₀, to pochodne te są równe w punkcie p_n.