27878

Ćwiczenia nr 8 Sem. II 11.05.2009

Funkcje dwóch i tr/ech zmiennych, pochodne cząstkowe

1. Wyznacz i narysuj dziedzinę funkcji:

a).	f(x y)-J^x2-^y2 ^riKyt ln(x-t-y)	b).	f[x, y) = arcsin — -t- y[xy
c).	f(x.y)=y/l— x^2 -ł->/l —y^2	d).	^fUy)=^
e).	f(x.y) =>/ysin x	f).	f(x,y)= ln* ^+-^y ~y

9 —x² —y²

2.    Oblicz pochodne cząstkowe i-go rzędu następujących funkcji:

a). f(x,y) “TT” b).    f —    c). f(x, y) = arctg —

x+y    yjx*x

d).    fUy)-in£*-*Vx²    }    _e). f{x,y)=x^2y f) ^(_{x y})_=e^sln7

3.    Udowodnij, że:

a) .    jeżeli ^=In(x² + xy+y²)

b) .    =° jeżeli u =(x-y)(y-z)(z-x)

4.    Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe 2-go rzędu podanych funkcji i sprawdź, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe:

a).    fix.y) =xy+-p-    b).    f(x,y)=słn(x²+y²)    c). f{x,y)=xe*^y

d). f(x,y) =—x²y³ -ł-3x² -+-Xyfy 1

5.    Napisz równaiue płaszczyzny stycznej do wykresu podanej ftntkcji we wskazanym punkcie:

a) , z = ^9-x² —y² ,    (x₀.y₀. z₀) =(V2.-V3.2) Odp. -J2 x—n/3y -*-2z —9 =0

b) . z = yln(2 + x².y-y²), (x₀,y₀,z₀) =(2,l,z₀) Odp.

4x +(5 ln 5 -2 )y -5z -6=0

6.    Napisz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z =x⁴ —3y^J , która jest równoległa do

płaszczyzny    4x-ł-12y— z— 5=0.

Odp 4x+12y— z+9=0