3582321138

Ćwiczenia nr 8 Sem. II 11.05.2009

Funkcje dwóch i trzech zmiennych, pochodne cząstkowe

1. Wyznacz i narysuj dziedzinę funkcji:

a).	w 1 V*^2-y^2 ^f(*^y) = ln{x+y)	b).	f {x, y) = aicsin ^+yfxy
c).	f{x,y)=Jl-x^2 -ł-Vl-y^2	d).	f(*,y) = 1 ^1 \ y V x
e)-	f{x>y) =-Jysinx	f).	\ , X^2 4-y^2 —4 f(x,y}= ln--f

9-x² -y²

2. Oblicz pochodne cząstkowe I-go rzędu następujących funkcji:

a). f[^x> y) ~TT7~ li)-    ₂    4 f(x, y) =arctg —

x-t-y    tJx +y    x

d).	f(x,y)=Łn^x-+-x/x^2 -t-y^2	3 ^e)-	f(x,y)=x^2* f).
Udowodnij, że:
a).	cfc . cfe „ x--t-y— =2 c* Dy	jeżeli	z =ln(x^2 -t-xy+y^2)
b).	W II O	jeżeli	X 1 N. "TT 1 1 X II 3

4.    Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe 2-go rzędu podanych funkcji i sprawdź, czy pochodne cząstkowe mieszane sąrówne:

a).    f{x,y)=xy+—y    b). f{x,y)=sin(x² -t-y² j c). f(x,y)=xe^J°'

y

d). fi^x>y) ——x²y³ -h3x² +xjy+l

5.    Napisz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie:

a) . z=yj9~x² -y² ,    (x₀,y₀, z₀) =(V2,—j3,2\    0(fa. J2 x—vSy+2z-9 =0

b) . z = yln(2 + x²y—y²), (x₀,y₀,z₀) =(2,1, z₀) Odp.

4x+(5 ln 5 -2 )y -5z —6 = 0

6.    Napisz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z =x⁴ —3y² , która jest równoległa do

płaszczyzny    4x-t-12y—z—5=0.

Odp. 4x-+-12y— z-+-9=0