102789

Miotechnołogia I s<-in. M .Twardowska Funkcje wielu zmiennych 1

Pochodne cząstkowe.

1.    Obliczyć wskazane pochodne funkcji:

a)f(x.y,t) = -j====.    /;. r„    b)g(x,y,z) = e”‘,

c) /i(x, y. z) = (x/y)^:, h'_x, h'_y, h'_z    d) *(x,y. 2) = x"‘, k_x, A', k^J,

2.    Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji

a) /(x,y) = y/x* -F y²: (Wsk. W (0.0) policzyć z def.). b) /(x,y) — \/x³ + y³

3.    Obliczyć pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie dla funkcji: a) /(x,y) = arctg(^) b) /(x,y) = xcos²(x + 2y + z²)

Funkcja uwikłana

Niech F będzie funkcją dwóch zmiennych (ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi w otoczeniu punktu (xq. f/o)). Niech F(x<j,yb) = 0, a FJ(xo, j/o) ^ 0 . Wtedy równanie F(x.y) = 0 wyznacza funkcję uwikłaną y = y(x) = /(x) ciągłą i różniczkowaną w otoczeniu punktu xq taką że /(xo) = yo- -lej pochodne w otoczeniu xo są określone wzorami:

_r(x> ₌ _ *«*./(*))    * ₌ _ F_xxF*^ — 2F^txvF^,xF'_v -f F_yvF_x²

ⁿ⁾ FJ(x,/(x)) ’    ^/U    FJ³

Jeżeli równanie F(x, y) = 0 określa funkcję uwikłaną y = y(x) = /(x) oraz

•    f(*o>H>) = 0    • K(^xo-Vo) = 0    •    i . /Vo) = -    w)’ ^#0'

to w punkcie x o istnieje ekstremum funkcji uwikłanej y = /(x) i jest to minimum, gdy /"(xo) > 0 . a maksimum - gdy f"(xo) < 0 .