0333

334

V. Funkcje wielu zmiennych

Oznaczając wyrażenie znajdujące się w nawiasach przez e, mamy

a Ax + pjy+yAz=ep,

gdzie e zależy od Ax, z).y, zfz i dąży do zera, gdy Ax-*0, Ay-*0, Az-*0, lub krócej, gdy p—>0. Wobec tego wzór (1) można przepisać w postaci

(2)    Au = Af(x₀, yq , z₀) =/;(x₀, y₀, z₀)Ax+f'_y(x₀, y₀, z₀)Ay+f₂(x₀ ,y₀, z₀)Az+ ep,

gdzie £->0, gdy p-*0. Wielkość ep można oczywiście napisać jako o(p), jeśli rozszerzymy wprowadzone w ustępie 60 oznaczenia na przypadek funkcji wielu zmiennych.

Zwracamy uwagę, że w naszym rozumowaniu nie był formalnie wykluczony przypadek, gdy poszczególne przyrosty Ax, Ay, Az lub nawet wszystkie jednocześnie są równe 0. Mówiąc więc o zależnościach

a-»0,    /J-+0,    y->0,    £->0

przy Ax-**0, Ay-*0, Az-*0 rozumiemy je w szerszym sensie i nie wykluczamy dla tych przyrostów możliwości przechodzenia przez zero podczas ich zmiany. (Porównaj z analogiczną uwagą w ustępie 96).

Przy dowodzie poprzedniego twierdzenia żądaliśmy od funkcji wielu zmiennych więcej niż od funkcji jednej zmiennej. Aby pokazać, że bez spełnienia tych żądań wzór (1) lub (2) mógłby się tu okazać niesłuszny, rozpatrzymy na zakończenie następujący przykład, gdzie dla prostoty mamy do czynienia tylko z dwiema zmiennymi niezależnymi.

Określmy funkcję /(x, y) równościami

2

f(x, y) -    (jeśli x²+y^J>0),

-r +y

/(0,0) = 0.

Funkcja ta jest ciągła w całej płaszczyźnie. W punkcie (0, 0) ciągłość wynika z ustępu 167, (5). Istnieją pochodne cząstkowe względem a i y również w całej płaszczyźnie. Dla A²+y² >0 jest oczywiście

2 xy³

(a ²+y²)²’

fi

(x, y) =

x\x²-y²) (x²+y²)² '

W początku układu współrzędnych natomiast mamy /;(0, 0)=/;(0, 0) = 0; wynika to, na mocy samej definicji pochodnych cząstkowych, bezpośrednio z tego, że /(a, 0)=/(0, y) = 0. Łatwo jest wykazać,

iż w punkcie (0, 0) pochodne nie są ciągłe (dla pierwszej z nich wystarczy na przykład wziąć y=x =-->0).

n

Wzór (1) lub (2) w punkcie (0, 0) nie jest dla naszej funkcji słuszny. Rzeczywiście, gdybyśmy założyli, że jest przeciwnie, to byłoby

Ax²Ay    --

4/(0,0)    =e^Ax² +Ay²,

Ax +Ay

gdzie c-+ 0, gdy Ax~*0 i Ay-*0. Przyjmując w szczególności Ay = Ax>0, mielibyśmy

\Ax=c*Jl Ax, skąd ^£^2^j2 i c nie dążyłoby do zera, gdy Ax->0, co przeczy założeniu.