0349

350

V. Funkcje wielu zmiennych

Niech będą zmierzone w trójkącie prostokątnym ABC (rys. 103) przyprostokątna AC=b i kąt przyległy %.BAC=a, natomiast drugą przyprostokątną należy obliczyć na podstawie wzoru a=b tg a. Jak odbijają się na wartości a błędy pomiaru b i a?

Różniczkując otrzymamy

b

da=tgadb-\--r- dat,

cos a

a więc

da=Xgadb-\--5— da.

cos a

Gdy na przykład pomiary dały wyniki 6 = 121,56 m±0,05 m,

B

a = 25°21'40"±12", a więc u=57,62 m, to dla wyznaczenia Sa według naszego wzoru przyjmiemy 12" ,

206265'

w nim <56=0,05, a &<*■=—szn,, (da trzeba wyrazić w radianach, a jeden radian równa się właśnie

60"-60-360

2n

=206265"). Otrzymamy

b

tg a db=0,0237,    -j- da=0,0087,

cos a

można więc przyjąć po zaokrągleniu <5a=0,04. Tak więc o=57,62 m±0,04 m.

3) Znajdźmy błąd przy wyznaczaniu boku a trójkąta nieprostokątnego ABC (rys. 104) według wzoru

a=>y b¹+c² —2bc cos a.

Korzystając z wyników przykładu 5) z ustępu 177 można według wzoru (17) napisać od razu

b—c cos a . c — b cos a ócsina

<5<2=-- Sb-\----— <5cH--<5a.

a    aa

Z rysunku natomiast otrzymujemy bezpośrednio

b—c cosa = a cosy,    c — ó cosa = a cos/5, bc sina = aft_a,

gdzie h_a jest wysokością trójkąta przechodzącą przez wierzchołek A. Okazuje się więc, że

<5a=cos y db +cos/8dc + h, da ;

na podstawie tego wzoru można łatwo wnosić o wpływie poszczególnych błędów db, dc, da na błąd da.