img108

10?:

Ekstrema warunkowe

Niech f będzie funkcję rzeczywisty n zmiennych rzeczywistych x.,...,x_n określony w pewnej kuli K(e,(>) CRn i załóżmy, że na zmienne Xj,..._#x_n nałożono «<n dodatkowych warunków

(9.6)

V*i.....*„) • o

9.(*1.....^ “ ⁰

Definicyjni. Mówimy, że punkt a jest punktem makalwum warunkowego (odpowiednio minimum warunkowego) funkcji f, jeśli nierówność f(x) £ f(e) (odpowiednio f(x)>f(a)) Jest spełniona dle wszystkich x ■

■ (Xj.....x_n) neleżęcych do pewnej kuli K(a,r)cK(a,ę) i spełniajęcych

zwięzki (9.6).

Punkty maksimum 1 minimum warunkowego eę nazywane wspólnie punktami ekstremum warunkowego.

Deśll a jest punktem ekstremum warunkowego (makelaum lub minimum) funkcji f, to mówimy, że f ma w punkcie a ekstremum warunkowe (maksimum lub minimum).

Przykład

Funkcja ftR a(x,y)-*x *y ma w punkcie (0,0) minimum absolutne równe zero. Wyznaczymy Jej minimum przy warunku g(x,y) *x*y-l«0. Punkt (0,0) nie może być punktem minimum warunkowego funkcji f, ponieważ nie spełnia on równania g(x,y) ■ 0. W naszym zadaniu można Jednak bardzo prosto rozwikłać warunek g(x,y) ■ 0, np. względem zmiennej y. Otrzymujemy wówczas y ■ 1 - x i związek ten uwzględniamy w przepisie funkcji f:

f(x»1—x) - x² ♦ (l-x)² . 2x² - 2x ♦ 1 « F(x)

Funkcja F jest już funkcję Jednej zmiennej x«R i ma ona minimum w punkcie x ■ ^ równe £ . Korzystając z równania warunku: y » 1 - x otrzymujemy y ■ £ , a zatem punkt a ■ (j, ^) jest punktem, w którym funkcja f oelłga minimum warunkowe (przy warunku x - y ♦ 1 ■ 0) równe ■J (zobacz rys. 8) .

Analogicznie Jak w powyższym przykładzie (zobacz też ćwiczenie 8.4) możne też postępie w przypadku bardziej ogólnym.

Załóżmy, że a ■ l, tzn. warunek (9.6) można zapisać w postaci

g(x_1#....x_n) - 0    (9.7)

oraz, że funkcje f jest różniczkowalna w K(a,p), a funkcja g ma cięgła pochodne częstkowa pierwszego rzędu też w kuli K(a,p), Przyjmę-