img105

Wykład 9

Ekstrema lokalne funkcji uwikłanej

Niech f będzie funkcję rzeczywistą n+i zwiewnych rzeczywistych Xj₄...|X_n>u« Zakładany, że w pewnej kuli K(8,u₀)«r)C Rⁿ⁺¹, gdzie 8 ■

»    ,8_n) wezyetkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji

f sę ciągłe orez, że f(8»u₀) « 0 i    (2,u₀) f 0* Przy tych założę*

niech istnieje kula K(8,t)CRⁿ o tej własności, że równanie

t(x_ł,..,,K_|ł,u) - O    (9.1)

określę dokładnie jedną funkcję uwikłaną uiK(8,t) —* R wającę ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w K(S,t) (zobacz twierdzenia 6.4 i 6.5 na stronach i ) • Co więcej, dla każdego xeK(8,t) »amy

|i- (*.u(x»

'3T7T":

ZU ^(Xłl

»u(x))

(J • i.

(9.2)

(zobacz wzór (6.8) na stronie ).

Chcęc więc wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji u wystarczy, przy uczynionych założeniach, rozwiązać następujący układ n+1 równań o n^l niewiadowych    *^xn#°ł

f(K_1#...,x_n,u) - 0

• Ał    ⁽⁹'³⁾

^(Ki.....’V^u) ' °- ^ł ’ ¹.....^.

Załóżmy dalej, że liczby a^,*».,e_n,b eą rozwlązaniea układu (9.3), tzn. że a - (a^_#.».,e_n) Jest punktea stacjonarny* funkcji u wyznaczonej przez równanie (9.1) oraz, ż# u(e) • b.

Jeśli funkcje f jest dostatecznie regularne, to równość (9.2) *o-