DSCN1111 (2)

|I| 11) 12 + a, (x + 1) + (x + l)³ + a,(x + l)³ +... +

+ «»♦.(*+U**'-

Z powyższego wynika, że

fl3 = fl₅ = fl, = ... = fl2,_{+ 1} =0.

Ostatecznie otrzymujemy:

W(x) = 2 + a₁x + x².

2.30.    Miejscami zerowymi są: 4, 7,10,13.

2.31.    |dx³ - cx² + bx-a\ = | (dx³ - d) + (~cx² + bx-a + d)\$ |d|*|x³ - 1| + |-cx² + bx-a + d\.

Rozważmy teraz funkcje g, h określone wzorami: g(x) = x³-l, h(x)= -cx² + bx-a + d.

Funkcja g jest rosnąca w R, wobec tego dla każdego x e < — 1; 1) spełniona jest nierówność

0(-lK0(*K0(l)» czyli -2<g(x)<0.

Stąd |g(x)| < 2, dla xe<-l;l).

Ponieważ c > 0, więc funkcja h, jako kwadratowa, jest rosnąca

w przedziale (—oo; —), zaś malejąca w przedziale fc^-;oo).

2 c    2 c

Z założenia, że — > 1 wnioskujemy, że funkcja h jest rosnąca 2c

również w przedziale < — 1; 1).

Stąd h(-1) < /i(l), czyli -c-b — a + d<—c + b — a + d.

Z założenia, żed>a + 6 + c wynika nierówność —c — b — a + d> 0. Wobec tego | — c — b — a + d\ <

|—c + b - a + d\, a zatem \h{x)\ < |—c + b — a + d\, dla xe<—1;1>.

Teraz zauważmy, że

i-c + b - a + d\ = |/(-1)| ^ 1, |/(0)| = \d\ < 1. Stąd |d|*|x³ - 1| + |-cx² + 6x-fl + dl^l*2+l=3, dla xe<-l; 1).

2.32. Dla przykładu podajemy odpowiedź do punktu a)

dla pe(-oo; -2)u

3p + 2    1

p + 2 ⁺2

/(p>= <

*

u(-2;4 - 2_v/5>u<4 + 2_x/5;oo)

^ dla p = —2

- dla pe(4 - 2^5:4 + 2y/5)

2.33.

/(*) =

x + 1 x² + a

Najpierw wyznaczymy zbiór wartości funkcji / jako funkcję parametru a.

Niech meR i niech * = m.

x² + a

Wtedy (*) mx² — x + am - 1 = 0.

Równanie (*) ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest nieujemny, czyli gdy (**) - 4am² + 4m + 1 > 0.

Niech idj = 16 + 16a. Wówczas A_x ^ 0 dla a ^ — 1, d, < 0 dla a < — 1.

Rozważmy przypadki:

1° ae<—l;0)u(0;oo);    2°a = 0,    3° ae(-oo;-1).

Jeśli zachodzi 1°, to m_t

1 — yja + 1    1 + -y/fl + 1

—*—.*2 =—

Zatem nierówność (**) spełniają:

/ 1 -y/fl + 1 1 + yjO + 1 \    ,_A .

me ^^^^ dla ae(0; oo) oraz

/    1 — yja + 1\    /1 + y/fl + 1    \ ,,    / i• n\

me( -oo;-^-luf-^-;oo 1 dlaae<-l;0>.

2° Jeśli a = 0, to nierówność (**) spełniają liczby me<--; oo)

3° Jeśli a < — 1 to 4, < 0 i (—4a) > 0.

Zatem nierówność (**) spełnia każda liczba rzeczywista m.

79