img118

118

■ cosx - 1 4 O dla każdego xeR, St?d wynika, że $lnx £ x dla x >0 oraz sinx > x dla x40, a w konsekwencji lsinxl^łxl dla keżdago x £ R.

2.5. Nie wolno stosować twierdzenia Bonach^, które dotyczy cdwzoro-wań f przeprowadzających dany zbiór 2 w siebie, tzn. f:Z-*Z. V? podanym przykładzie funkcja F przeprowadza zbiór < O, ~ > w zbiór

g    ^M

<- g , -1> ,8 więc nie Jest odwzorowaniom w siebie.

Zwróćmy też uwagę na to, ze funkcja F nie jest zwężająca na całoj oai liczbowej R mimo. Ze jest zwężająca w przedziale '< O, ^>,

3.1.    Zauważmy, Ze a^4b_k dla dowolnych l€N    i    k€N. Dlatego

istnieje liczba s * sup a, oraz liczba i * inf    b.,    przy    czyn    & £ i.

1 e N ^A    k e N ^K    I

Mamy taż a^^ e ^ i ^ b^ dla każdego m£N. Zatem, jeśli gc Z. s , i > ,

(może być s ■ 1 i wówczas <e,i> * {$})' ^to 9 należy do każdego przedziału <a_i,b_i> (i « i_#2,...}.

3.2. Sprawdzimy, te funkcja d spełnia aksjomaty metryki. Ocśłi'

(x,y) ł x,y), tzn. x j x lub y ^ y, to d (x,?)>0 lub d₂(x,y) > O,

r 1 i 2 2 "I    li 22    1    2    1    £

czyli d L(x,y), (x,y)J > O. Gdy zaś (x,y) * (x,y),    tzn. x *    x i y    = y,

to d_±(ij) » O i d₂(J.?) « O, a zaten dQ ), {%. ,y) ]    jest    w tym    przy

padku równe zero. Aksjomat tożsamości Jest więc spełniony.

Ponieważ d^ i d₂ sę metrykami odpowiednio w zbiorach Z^ i Z₂, więc d₁(^,x) * d₁(x,x) i d₂(y,y) = d₂(y,y), s stęd. d [(x _fy) . (x, y) ] *

• d L(x,y) ,(x,y)] .

Aby udowodnić, że d spełnia okejomst trójkąta Zauważmy, że [<*!_(£ #x)]$ d_x(x,x) * d₁(x,x) oraz d₂(y,y) £ d₂(y,y) ♦ d^y.y). Stęd wyni-nik3, że

[d₁(łj)]²^ [d_t(ł,8)]² ♦ [d₁(8,8)]² ₊ ?d ₁(ł,S)d_ł(S,?)

[ C y. V)] ² ^ [<l₂(łrV)]² ♦ [d₂(y,y)]² ♦ 2dg( y,y)d₂(y ,y)

Dodejęc teraz stronami powyższe nierówności oraz korzystając z nierówności Cauchy'ego udowodnionej w rozwiązaniu ćwiczenia 1,1 (przyjmujemy

*1 * ^di'^»*)*    “ <^(1,1), ^a2 *    ^b2 *    ' * °^tr*youjemy

* E-a<v.?ł]^a<([diti.Sł]^a ♦[<•,(}.?)]*)* ([«._l(!.3;]* .

.