226 2

226

6. Równan.a nieliniowe

mają stały znak w {a, b). Wtedy z (6.4.3) wynikaj że

ma stały znak dla każdego n. Jeśli f₀J\ <0, to £_fra, <0 i sgn(£„) musi zmieniać się wedh jednego z następujących dwóch schematów:

(a)    + + - + + - +

(b)    +

Wobec tego metoda siecznych (asymptotycznie) tylko w co trzecim kroku nie jest metodą reguła falsi. Gdy metoda siecznych jest zbieżna, możemy ławo otrzymać ścisłe oszacowanie błędu. (Natomiast metoda Newtona przy tych samych założeniach jest zbieżna mo-notonicznie.) Można to wykorzystać i przyspieszyć zbieżność metody reguła falsi. nic tracąc zbieżności globalnej. Wybieramy znów takie punkty x₀ i x_}, że f₀f_L <0. Załóżmy teraz, że dla pewnego n mamy nierówność/._i/,<0 i że oblicza się z wzoru (6.4.1), Jeśli teraz/„+,/,<(), to w następnym kroku możemy użyć siecznej przechodzącej przez » (*■>/«)• Jeśli natomiast >0, to oczywiście    <0. Wtedy krok

modyfikujemy, określając *_n+2 jako zero funkcji liniowej o wykresie przechodzącym przez (*■+1 »/«+i) •    «/,-1), gdzie a z przedziału (0, I) jest parametrem. Oczywiście war

tość a= I odpowiada metodzie reguła falsi i zwykle daje nierówność/_o_z/_Bn>0. Z drugiej strony, jeśli a=0, to x„. ₂=*„_, i wtedy/_ft+2/_n-, <0. Odpowiedni wybór» może oczywiście dać takie x„₊₂ różne od *,_i, że f_n-ifn+1<0 i wtedy następny krok może być niczmo-dyfikowanym krokiem metody siecznych. Ta zasada może ustrzec przed utrzymywaniem się jednego punktu, co powoduje zbieżność liniową metody reguła falsi.

Analiza asymptotyczna zmodyfikowanego kroku pokazuje, że

(6.4.6)    +    dla a = {.

Ze zmian znaku w metodzie siecznych wynika, że asymptotycznie powinniśmy modyfikować co trzeci krok. Załóżmy, źe x„ obliczono w kroku zmodyfikowanym. Wtedy aa mocy (6.4.6) i (6.4.3)

~ ^S*-t*    ^C«ł| ^{= _} Ctn~ l •    + J —    •

Możemy więc powiedzieć, źe ten algorytm, zwany niekiedy algorytmem Illinois. daje zbieżność sześcienną przy obliczaniu trzech wartości funkcj iw jednym kroku. Może się zcir*rzyw że po zmodyfikowanym kroku dla a=\ otrzymujemy/,₊₃/_B+1>0. Możemy w następnym kroku prostej przechodzącej przez    Ogólniej,^

rzemy kolejno <*=(£)* dla *= 1,2.....aż do wystąpienia zmiany znaku wartości

zś&Ę

1. Metodą siecznych wyznaczyć pierwiastki poniższych równań z pięcioma P⁰?¹** nymi cyframi ułamkowymi.

(a) 2x=e~^x,    (b) tg.r-f coshur=0.