str226

226 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

226 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

Qi

+ (y-J'i)² + (z-Z()²

(1)

nazywany warunkiem Dirichleta lub warunkiem rodzaju pierwszego, a warunek brzegowy (3.15) występujący w zagadnieniu Neumanna — warunkiem Neumanna lub warunkiem rodzaju drugiego, natomiast warunek (3.16) występujący w zagadnieniu mieszanym nosi nazwę warunku mieszanego lub warunku rodzaju trzeciego.

Zadania przykładowe

Zadanie 3.1. Wyznaczyć potencjał ę(x, y, z) pola elektrostatycznego wytworzonego przez trzy odosobnione ładunki Q_t, Q ₂, i Q₃ skupione w punktach M_l(x₁, y_lt z _t), Mi{x₂,yi,zi) i M₃(x₃,y₃, z₃).

Rozwiązanie. Potencjał q> spełnia równanie Laplace’a (3.3) w całej przestrzeni poza punktami M_lt M₂, M₃, możemy go zatem wyrazić jako kombinację liniową potencjałów niutonowskich (3.8). Jest to funkcja następującej postaci:

3

<p(x,y,z) = ~ )    ■

^4b Z_j V(x-Xi)²

i= 1

Zadanie 3.2. Wyznaczyć potencjał V(r) pola elektrostatycznego w przestrzeni a<r<b ograniczonej powierzchniami r = a i r = b dwóch kul współśrodkowych, jeżeli potencjał powierzchni r = a wynosi V_a i powierzchni r = b wynosi V_b, przy czym V_a ^ V_b.

Rozwiązanie. Funkcja V(r) spełnia równanie (3.5), które w danym przypadku przybiera postać d²V 2 dV

~TT^---~ ®

dr r dr

Zadanie 3.3. Wyznaczyć żonej kuli a<r<b, jeżeli ten wierzchni r = b wynosi T₀> izolacją.

Rozwiązanie. Funkcja pad ku przybiera postać

(1)

Funkcja T(r) spełnia ponadt 0)

Rozwiązaniem ogólnym r

(3)

Z warunków (2) wyznaczam

po uwzględnieniu których w temperatury

oraz następujące warunki brzegowe rodzaju pierwszego

(2)

V{a)=V_a, V(b)=V_b.

Rozwiązaniem ogólnym równania (1) jest funkcja (3.7)

(3)

C₂

F(r) = C, + —.

r

Z warunków (2) wyznaczamy stałe C_y i C₂

aV_a-bV_b „ V_a-V„

¹ a-b ’    ²    1 _J_’

a b

a następnie podstawiamy je do zależności (3) i stąd otrzymujemy szukaną funkcję

K(r) =

K~K_

1

a b

l¹ aV_a-bV„

_ +--

r a — b

Zadanie 3.4. Wyznaczyć I Rozwiązanie. Zgodnie z strzeni jest następująca funkc

(1)

Wyznaczamy funkcję g(A, punktem symetrycznie położ< (patrz rys. 4.7). Punkt M i i B(ź, t], 0 oznaczmy przez ,

(2)

8 =

Szukana funkcja Greena ma

(3)

15*