str218

218 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

a stąd mamy

(10)

F(y + 2cosx —2x) = (y + 2cosx — 2x)³—(y + 2cosx — 2x)²— ±c,

G(y + 2cosx+2x) = (y+2cosx + 2x)³+(y+2cosx+2x)²+£c. Uwzględniając wzory (10) w zależności (6), otrzymujemy szukaną funkcję u u(x, y) = (y + 2cosx — 2x)³ + (y+2cosx+2x)³ —

— (y + 2 cos x — 2x)² + (y 4- 2 cos x+2x)².

Po dokonaniu pewnych przekształceń funkcję u możemy zapisać w następującej postaci :

u(x, y) — 2(y+2cosx)³ + 8(3x² —x)(y+2cosx).

Zadanie 2.9. W jednorodnej nieskończenie długiej linii elektrycznej bez strat o parametrach L i C powstaje fala napięcia u(x, t) wywołana stanem linii w chwili początkowej / = 0 następującymi warunkami:

(1)    u(x,0) = sinx, u'(x, 0) = 2sin2x.

Rozwiązanie. Napięcie u{x, t) w linii bez strat spełnia następujące równanie:

(2)

d²u    d²u

d? ^{= LC}~dF

Jest to równanie typu hiperbolicznego, ponieważ wyróżnik

S = 4LC > 0.

Zależności x\[LC+t = C_{ i x\lLC—t = C₂ są równaniami charakterystyk. Równanie (2) sprowadzamy do postaci kanonicznej po przejściu do zmiennych £ i rj określonych wzorami

(3)    £ = xy[LC + t,    t] = x\/LC—t.

Po obliczeniu współczynników występujących w równaniu kanonicznym, według wzorów (8), otrzymujemy

d²u

⁽⁴⁾    m-°-

Ogólnym rozwiązaniem równania (4) jest następująca funkcja:

(5)    u(t,r₁) = F(łl) + G(r₁),

gdzie F i G są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej.

Uwzględniając związki (3) w zależności (5), otrzymujemy rozwiązanie równania (2) w następującej postaci:

(6)

u (x, f) = F (x VLC +1) + G (x VLC — t).