72693 str250

250 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

oraz następujące warunki początkowe:

(3)    u(x,0) = /(x) dla 0 <x<l,

) ⁼⁰

/ 8u

U

dla 0 <x<l

(4)

i warunki brzegowe

(5)    u (0, 0 = w (f, t) = 0 dla    t > 0.

Poszukujemy ciągu rozwiązań u„(x, /) równania (2) w postaci

(6)    *    u_n(x,t) = X„(x)T_n(t).

Funkcje Af„(x) i T_n(t) dobieramy w ten sposób, ażeby funkcja u„(x, i) spełniała równanie (2). Obliczamy zatem pochodne funkcji (6)

d ^un _ y"T    ^^U” — Y T' ^ ^U" Y T"

a 2 ^—    -.2 ^{— A}nⁱn

ĆDCj-    _tćh

i podstawiamy je do równania (2) otrzymując stąd następujący związek:

- LCX„T”- (RC+LG) X_nT_n' - RGX„T_n = 0, który wobec założenia m„(x, 0 # 0 możemy napisać w postaci

rjri/łj

-^J-LC —--(RC + LG) —- — RG = 0.

Y ‘T    r

■"n    -*n

Jeżeli JST„(a:) i T_n(t) są rozwiązaniami równań

jZ//    jł//    ’ jił

(7)    ‘-rf = -X²n, LC^_r+(RC+LG)~ + RG = -A²,

to funkcje m„(x, f) spełniają równanie (2). Równania (7) możemy zapisać następująco:

x';+;²nx_n = o,

⁽⁸⁾    LCT„"+(RC+LG) r;+(RG+A²) T„ = o.

Całkami ogólnymi równań (8) są funkcje

X„(x) = A„ cos A„x + B„ sin A„x,

T„(ł) = e^-"'(C„ cos a„f+£>„ sin a„t),

gdzie

RC+LG 2LC ’

<x. -

^X1

LC

\2L 2 C)

Z warunków brzegowych (5) otrzymujemy

nn

X£0) = A_n = 0, X_n(l) = B_n sin A_n/ = 0, A„ = y,