str238

238 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

238 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

nazywamy funkcję

(6.7)

gdzie

1    f '² 1

u(x, y,ł ,Z,ri,T) = —- exp -—j--- ,

aft-z)    [_ 4a²(f — t)J

r = J(x-ę)²+(y-ri)² , t>z.

Własność 2. Rozwiązaniem równania (6.6) spełniającym warunek początkowy

(6.8)    u(x,y,0) = cp(x,y),

w caiej płaszczyźnie Oxy jest funkcja

o oc

(6.9)

Definicja 4. Rozwiązaniem podstawowym równania

(6.10)

nazywamy funkcję (6.11)

c²u 1 duj dx^{2 =} a² ~dt\

1 f (x-0²l

gdzie t>z.

Własność 3. Rozwiązaniem równania (6.10) spełniającym warunek początkowy

(6.12)    u(x, 0) = <p(x) w przedziale niewłaściwym (—oo, co) jest funkcja

— oo

Własność 4. Rozwiązaniem równania (6.10) spełniającym warunki graniczne

u(x, 0) = tp(x)    dla    x>0,

u(0, t) = f (f)    dla    t >0

r —

(6.13) (6.14)

jest funkcja

t

(6.15)    «(x,f) = —i- I    -1/W^ +

2a³\/it i v(i-t)³    L 4a (t —t)J

0

2a\lnt.

dla x>0 i t>0.