244 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO
Funkcja f(x) spełnia warunki Dirichleta w przedziale < — a, a}, korzystamy zatem ze wzoru (8.4) dla obliczenia współczynników D„. Całki występujące we wzorze (8.4) możemy liczyć w przedziale <0, a}, ponieważ f(x) jest funkcją nieparzystą, mamy zatem
a a
f nnx f . nnx
/(x)sin-dx u0 sin-dx
J « Ja
o_______ o___
a
J
nnx sin -dx
0 dla n parzystych, D„ = \ 4
nu
dla n nieparzystych.
Obecnie możemy zapisać w końcowej postaci rozwiązanie równania (1) spełniające warunki graniczne (2) i (3), jest nim następująca funkcja:
(2/7 —
-1) Ttx f 4(2n — l)2n2
^ j
2n —1
w prostokącie 0<x<« i —b<y<b spełniające na brzegu następujące warunki:
(2) u(0,y) = 0 dla —b<y<b,
(3) u(a,y) = U0 dla —b<y<b,
(4) u(x, —b) =. u(x, b) = 0 dla 0<x<a.
Rozwiązanie. Poszukujemy ciągu rozwiązań w„(x,y) równania (1) w postaci
(5) u„(x, y) = Xn(x) Yn(y).
Funkcje Xn(x) i Yn(y) dobieramy w ten sposób, ażeby funkcja u„(x,y) spełniała równanie (1). Obliczamy zatem pochodne funkcji (5)
d2u„
8x2 = X'n'(x) Yn(y), ji = X„(x) Y'„'(y)
i podstawiamy je do równania (1) otrzymując stąd następującą zależność: