47529 str244

244 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

Funkcja f(x) spełnia warunki Dirichleta w przedziale < — a, a}, korzystamy zatem ze wzoru (8.4) dla obliczenia współczynników D„. Całki występujące we wzorze (8.4) możemy liczyć w przedziale <0, a}, ponieważ f(x) jest funkcją nieparzystą, mamy zatem

a    a

f    nnx    f . nnx

/(x)sin-dx u₀ sin-dx

J « Ja

o_______ o___

a

J

nnx sin -dx

0 dla n parzystych, D„ = \ 4

nu

dla n nieparzystych.

Obecnie możemy zapisać w końcowej postaci rozwiązanie równania (1) spełniające warunki graniczne (2) i (3), jest nim następująca funkcja:

_ °° sin 4w₀ V’

u(x,o= — y ^

(2/7 —

-1) Ttx    f 4(2n — l)²n²

^ j

2n —1

(1)

Zadanie 8.2. Wyznaczyć rozwiązanie równania Laplace’a

d²u 8²u

d?⁺d? ^{= 0}

w prostokącie 0<x<« i —b<y<b spełniające na brzegu następujące warunki:

(2)    u(0,y) = 0 dla —b<y<b,

(3)    u(a,y) = U₀ dla —b<y<b,

(4)    u(x, —b) =. u(x, b) = 0 dla    0<x<a.

Rozwiązanie. Poszukujemy ciągu rozwiązań w„(x,y) równania (1) w postaci

(5)    u„(x, y) = X_n(x) Y_n(y).

Funkcje X_n(x) i Y_n(y) dobieramy w ten sposób, ażeby funkcja u„(x,y) spełniała równanie (1). Obliczamy zatem pochodne funkcji (5)

d²u„

d²u„

_8x2 = X'_n'(x) Y_n(y),    ji = X„(x) Y'„'(y)

i podstawiamy je do równania (1) otrzymując stąd następującą zależność:

*''My„(y) + .Y_n(x) Y’_n'(y) = 0,