Układy równań liniowych5

100

Układy równań liniowych

Oznacza to, że rząd macierzy A układu jest równy 2 podczas, gdy rząd macierzy rozszerzonej [A\B\ jest równy 3. Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Dla parametru

	r i i i	11		r i i i	1 ]
[A\B] =	2 1 1	i	^"2 ~ _>	10 0	0
	Liii	i		Lo 0 0	o

W rozważanym przypadku rzędy macierzy głównej oraz macierzy rozszerzonej układu są równe 2. Oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego

p — 1 mamy

parametru.

c) W kolejnym układzie równań mamy

det A =

pil 1 1 -1 1 -1 p

= p² - 2p - 3 = (p + l)(p - 3),

więc dla p ^ — 1 oraz p    3 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla p = — 1 mamy

■ -1	1	1	1'		'0	0	0	2 '
1	1	-1	-1	>"J + “3 —,	0	2	0	-2
1	-1	-1	1.		. 1	-1	-1	1 .

im =

Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Podobnie jest dla p = 3, gdyż

	’3	1	1	1 ‘		'0	4	-8	—2 ‘		‘0	0	0	—6 ‘
[A\B\ =	1	1	-1	3	m _	0	2	-4	2		0	2	-4	2
	. 1	-1	3	1.		.1	-1	3	1.		. 1	-1	3	1.

a więc rz A = 2 < 3 = rz [A\B\. d) W ostatnim układzie równań mamy

det A =

PPPP

I    p p p

II    p p 1 1 1 p

p- 1	0	0	0
0	p- 1	0	0
0	0	p- 1	0
1	1	1	p

Dla p = 0 oraz p = 1 macierze rozszerzone przyjmują odpowiednio postać

		1	1	1	1 ‘
oraz	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1

Zatem dla p = 0 otrzymamy, że rz A = 3 = rz \A\B) = r < n = 4, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r = 1 parametru. Natomiast dla p = 1 mamy rz.4 = 1 = vz \A\B] = r < n = A \ układ równań ma także nieskończenie wiele rozwiązań, ale zależnych od n — r = 3 parametrów.

• Przykład 4.12

Klienci sklepu spożywczego stojący przed nami w kolejce płacili kolejno: za 2 kostki masła, 2 bochenki chleba, 10 jaj, 3 litry mleka - 9.50 zl; za 1 masło, 2 chleby, 20 jaj, 1 mleko - 8.20 zl; za 3 masła, 1 chleb, 5 jaj, 2 mleka - 8.90 zł.

Przykłady

101

a)    Chcemy kupić 2 masła, 5 chlebów, 35 jaj i 5 litrów mleka. Ile zapłacimy?

b)    Czy po zapłaceniu za zakupione produkty poznamy ich ceny jednostkowe?

c)    Jakiego zakupu powinniśmy dokonać, aby otrzymać każdy z tych produktów i jednocześnie poznać jego cenę jednostkową?

d)    Wyznaczyć ceny jednostkowe, jeżeli kupując po jednej sztuce każdego z tych produktów zapłaciliśmy 3.60 zł.

Rozwiązanie

Niech x,y,z,t oznaczają ceny jednostkowe odpowiednio kostki masła, bochenka chleba, jajka, litra mleka. Z danych zadania wynika następujący    układ równań

( 2x    +    2y    +    10z    +    31    =    9.5

< x    +    2y    +    20z    +    t    =    8.2    .

I 3x    +    y    +    5z    +    2t    =    8.9

a) Należy wyznaczyć wartość c taką, że c = 2x + 5y + 35z + ot.. Wystarczy, aby równanie definujące liczbę c było kombinacją liniową wcześniejszych trzech równań. Mówiąc ściśle, aby istniały stałe ai, a-z, as 6 R takie, że

(2,5,35,5) = aj (2,2,10,3) + a₂(l, 2,20,1) + a₃(3,1,5,2).

Stałe Qi, ao, Of₃ znajdziemy rozwiązując układ równań

2	1	3
2	2	1
10	20	5
3	1	2

2 1    3

-2 0 -5 -30 0 -55 1 0 -1

'0	1	5		-4
0	0		r	7
0	0	-85		85
_ 1	0	-1		3
'0	1	5		-4 ‘
0	0	1		-1
1	0	-1		3

1

-1

2

^3 =

7

M^W2:

fl

2

1

-1

0    i o

0 0 1

1    o o 1 o o 0 1 o 0 0 1

Stąd Oi — 2, 02 = 1, a₃ = — 1, więc

c = a i ■ 9.5 + 0.2 • 8.2 + a₃ • 8.9 — 18.3.

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że zapłacimy 18.30 zł.

b) Niemożliwe jest wyznaczenie cen jednostkowych poszczególnych produktów na podstawie podanych informacji. Ukiad równań opisujący te cztery niewiadome nie ma jednoznacznego rozwiązania. Rząd macierzy układu pierwszych trzech równań jest oczywiście