54 55 (14)

54

Układy równań liniowych

Z otrzymanej postaci wynika, ze rz A = 2 = rz [/4|/J] = r < n = 4 Oznacza to, ze układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależących od n - r = 2 parametrów

b) Zamieniamy dla wygody kolejność równań układu i przekształcamy jego macierz rozszerzoną do postaci

1 -1

2 2 3    5

-1

-4

3 2

¹ i 1

1 0

u/2 ■ 3iv] wj — 3oij

1	-1	-1
0	4	1
0	8	-1

3

-5

-10

2

-3

-6

Stąd otrzymujemy, że rz.4 = 3 = rz [A\B] = r. Jednocześnie n = 4, więc układ równań

rna nieskończenie wiele rozwiązań, a liczba parametrów jest równa n — r = 1.

c) W tym przykładzie mamy n = 3. Stosując wskazane operacje elementarne kolejno

otrzymamy

1	-3	1
0	7	-3
0	4	1

1	-3	1	0 ^1		1	-3	1	0
2	1	-1	1	Wy — 2 W]	0	7	-3	l
5	-1	-1	2		0	14	-6	2
1	-10	4	-1	™4 - U.J - u.,	0	-7	3	-1
1	1	2	1 J		0	4	1	1

A'3= 2 u>2 *4 = -«*2

Zatem re A = 3 = :z [sl|/f] = n. Układ ma więc dokładnie jedno rozwiązanie,

d) Równanie ze współczynnikiem 1 przy zmiennej r. znów dla wygody dajemy na początek i przekształcamy macierz rozszerzoną układu

Ł—* 1 to to	-1 1		ri —2 i 2	-1 '
0 113	0	“'O - ^2«*1	0 113	0
CO 1 7 T4	2	— 2um	0 5-3-7	4
.2313	1 .		0 s 1	3 .

u'3 - bu-2	1-2 1 2 0 113	-1 ' 0	- U/3		1 -2 1 0 1 1	2 3	-1 0
u.A - 7\j2	0 0-8-22 0 0-8 -22	4			0 0-8	-22	4
		3 J			0 0 0	0	-1 J

Stąd rz A = 3 < 4 = rz [/4|Z?]. Więc rozważany układ równań nie ma rozwiązań.

• Przykład 6.2

Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwiązania układu równań liniowych:

z    -ł-    3y    +    5z    +    7$    +    2t = 6

-z    +    4y    +    2z    -f    7s    -f    3* = 1

2x    +    y    +    5z    +    4s    +    1=3

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu mówiącego, że jeżeli układ równań liniowych z n niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań a jego macierz A ma rząd równy r, to dowolny niezerowy minor macierzy A stopnia r wskazuje nam r zmiennych, które można wyrazić za pomocą n — r pozostałych zmiennych, czyli parametrów. Przeprowadzimy najpierw wstępną analizę macierzy rozszerzonej [,4|#] układu pozwalającą na ustalenie rzędów oraz wyszukanie

55

Szósty tydzień - przykłady

odpowiednich minorów. Mamy

1 3 5 7 2	6 ^1		1 3 5 7 2
-1 4 2 7 3	1	u/j + ^1	0 7 7 14 5
2 15 4 1	3 .		0 -5 -5 -10 -3
			'1 3 5 7 2	6 '
		*•*2 ^7	0 1 1 2 |	1
			4
			0 0 0 0 -	-4

6

7

-9

Stąd wynika, że rz/t = 3 = xz[A\B) = r < n = 5. Wyznaczymy teraz wszystkie niezerowe minory stopnia 3 z przekształconej macierzy A. Spośród wszystkich ^ ) =10

minorów stopnia 3 niezerowe są tylko minory zawierające piątą kolumnę. Jest ich 6, mianowicie

1 3 2		1 5 2
5		„ 5
0 1 -		° ^1 7
4		4
0 0-		0 0-
7		7

1 7 2		3 5 2
5		5
0 2-		1 1 -
7	,	7
„ 4		4
0 0-		0 0-
7		7

3 7 2		5 7 2
5		5
^1 2 7	V	1 2 -i
4		4
0 0-		0 0-
7		T 1

Przyjmując kolejno każdy z tych minorów jako podstawę rozwiązania całego układu równań (tj. układu Cramera z trzema niewiadomymi i dwoma parametrami) widzimy, że parametrami mogą być tylko zmienne pozostające poza minorem, a więc z,s lub y,s lub z lub z, s lub x, z lub też x, p

• Przykład 6.3

Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od

parametru p:

f (2p+l)x + (p-3)y = p+ 1 1 (p + 2)r -    2y =    2p

b)

[    px    +    y    +    z    =    1

c) <    x    +    y    -    z    =    p    ;    d)

[    x    -    y    +    pz    =    1

x    +    py    +    2

2x    +    y    +    z

r    +    y    +    pz

px    +    py    +    pz

a?    +    py    +    pz

2:    +    y    +    pz

*    +    y    +    z

1

P

r

j*

1*

p<

p

p

p

p

Rozwiązanie

Układ, w którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera. Każdy przypadek wartości parametru p, dla którego det A = 0 wymaga osobnej analizy zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capcllego.

a) Rozważany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

= -p² - 3p + 4 = (1 - p)(p -ł- 4) ^ 0,

det A

2p -f 1 p — 3 ; P + 2    -2