58 59 (14)

58

Układy równań liniowych

Jeżeli jeden z minorów stopnia 3 macierzy A jest niezerowy, to nA = 3 = rz [A\H] = ^T < 4 = u i ukiatl ma nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem Wybierzmy do obliczeń minor, w którym parametr p występuje w możliwie najniższej potędze, np.

1 0

2 P

^1-21    / IX

2p^s + Jp-2 = 2(p+2)(p--j.

Zapisując teraz układ równań w postaci

' 1 -2 1'		y		‘ p-pz
p 1 0		2	=	3 - z
2 2 p .		■w		. 2 - 2x .

można, dla p    — 2 i p ^ , zapisać jego rozwiązanie wzorem

' y'		1-21'	-i	> - pz'
2	=	p 1 0		1 N
. t .		.2 2 p		.2-2 z.

0 + 2)(2p-l)

p    2 p + 2    -1

-p²    P-2

,2p- p -6

V

+ 2p

p - pi

3 - z 2 - 2x

gdz.e x £ R. Dla p = — 2 rozwiązując układ równań bezpośrednio otrzymamy

-2 1-2 1	-2’	uii ■+ 2 ui]	-2 1-21	-2 '	u».t + 2ur>	1 to 1 to	-2]
1-2 1 0 2 2 2 -2	3 2.		1-2 1 C .-2 4-20	3 -2.		1-2 10 0 0 0 0	3 4.

2 < 3 —    Dla p = - mamy

Układ jest w tym przypadku sprzeczny, bo rz.4

i 1 -2 1	1 ‘		l 1-2 1
2 1 i 10	2 3	"3 "	^2, i ,0
2 2 2 2 -	2		2 - - 3 0
Ł	-*		4 2

u'] -f 2ł*»2

1

2

3

7

4

t*3 - 3wj

5 -201 1 i 1 0	■°| w _1	-3= (-J)		0 2 0 0 I 1	1	4
	3	u>2 —			0	2
5 ^2 -- 0 0 0	5	^W1 ~ f ^w3		2 1 0 0	0	1
4	4 .					-1

Tutaj rz A — 3 = rz [v4|2?] = r < n = 4, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: z = 1, z = 2 - iy, | = 4 - 2y,

• Przykład* 6.5

Rozwiązać podany układ równań liniowych dla n ^ 2 w zależności od parametru rzeczywistego p :

P^11	+	r2	+	*3	+ .	.. +
*1	+	P*2	+	*3	+ .	.. +	%Tl
*1	■f	*2	+	*3	+ ..	. +	J)Xn

= 1 = 1

Szósty tydzień - przykłady

59

Rozwiązanie

Przekształcamy macierz rozszerzoną    układu nie zmieniając jej rzędu

' V	1 1 .	.. 1	1 '
^1	p 1 •	.. 1	1
. 1	1 1 .	V	1 _

«*>l 4 («*2 4 --4 Kn)

‘ p + n — 1 p + n — 1 p + n-1 .	V + n - 1	71 '
1 p 1	1	1
1 1 1	P	1 .

Załóżmy najpierw, że p + n — 1 =0. Wtedy rz A < rz [A|ił], więc układ jest sprzeczny. Przyjmijmy teraz, że p -r n — 1 ^0. Kontynuując przekształcenia otrzymamy

: (p 4 n - i)

					1 1	1 .	1	n
' l	1 1	... 1	n 1					p + n - 1 P- ł
			p + tt - 1	^w2 - ^1	0 p- l	n	n
1	P 1	... 1	1					p + n - 1
1	1 1	V	1	u>n — Uj	0 0	Q	P- 1	P“ 1
								p + n — 1 .

Znowu, jeżeli p - 1 = 0, to rzA = 1 = rz [A\B\ = r < n. Układ równań ma w tyra przypadku nieskończenie wiele rozwiązali zależnych od n — 1 parametrów. Rozwiązania te określone są wzorem

*i + £2 + xj + .. +Zn = l-

Pozostał jeszcze przypadek p — 1 ^ 0. Przekształcamy macierz daiej aż do końcowego rezultatu

*2 ^: (p - i)

U»T (p -1)

u*n CP - 1J

111.1 0 10.0

0 0 0 ... 1

ti>l — (u^ -r .    .+ «'„)

10 0.0 0 1 o ... o

000...1

Stąd wnioskujemy, że dla p / 1 - n oraz p ^ 1 układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci

rj = z₂

Przykład 6.6

Klienci sklepu spożywczego stojący przed nami w kolejce płacili kolejno: za 2 kostki masła, 2 bochenki chleba, 10 jaj, 3 litry mleka - 9,50 zł; za 1 masło, 2 chleby, 20 jaj, 1 mleko - 8,20 zł; za 3 masła, 1 chleb, 5 jaj, 2 mleka - 8,90 zł. a) Chcemy kupić 2 masła, 5 chlebów, 35 jaj i 5 litrów mleka. Ile zapłacimy ?