52 53 (14)

52

Układy równań liniowych

a)    (56,94,16), (48.67.8J), (29,82,53), (74, 15,38) w przestrzeni R^:\

b)    (1,0, 1,1,1), (0,1,0 1.1),(0,0,1,0, 1),(1,1,1,0,0) w przestrzeni R^b;

c)    r⁴ - x² + x, z⁴ -f 2x³ + x⁷ -ł 1, x³ + z -ł- 1 w przestrzeni Rą[z];

1	-l		3	2		1 1 '
2	3	'	1	9	»	-1 2

w przestrzeni Mj*2-

O Zadanie 5.7

Wektory w x,y,z z przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne. Zbadać, przy pomocy rzędów odpowiednich macierzy, liniową niezależność podanych wektorów:

a)    w - x -f z, w -f 2x -ł- y + 3z, 4x -ł- oy + z;

b)    7t5 + 9z -h 122/ -f- 85, 2115 — 9? -ł- 24 y + 245, — 7u? 4- 27z — 85.

O Zadanie 5.8

Określić wymiary i wyznaczyć bazy podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów ze wskazanych przestrzeni liniowych:

a) (2 1,1),(—1,1,2),(3,3.4),(5,-2,-5),(0.1,-1) fi³;

b) wektory wierszowe macierzy

1	-1	1	-1
1	2	0	1
2	5	-3	4
4	-1	3	-2

fi⁴;

c) X	^3 + 2x	^2-hi. z^2		- x + 1,		X^3	+ *^2,	x^3 — i, 2z^2
	i c		li'		o r		"0 0'
d)	0 2		0 0	i	2 2	i	2 0	, ^3x2
	3 0		3 3		0 3		3 3

O Zadanie 5.9

Wektory w x,y,z z przestrzeni liniowej Vsą liniowo niezależne Określić wymiary podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów w zależności od parametru rzeczywistego p.

a)    2pw - 2z+py-f 35.4to — pz-h 2y 4- (p 4- 1)5,25 - 5 -f y 4- 35;

b)    x - y -f pz_ypx - p²y + 5,p²z - py + pz.

Odpowiedzi i wskazówki

5.1 a) 1; b) 3; c) 2; d) 3; e) 4: f) 4.

5.2 a) 3; b) 2; c) 4; d) 2; e) 4; f*) 5.

5.3    a) 3; b) 2; c) 2; d) 1.

5.4    a) 4; b) 2 c.) 3.

5.5    a) dla p = -3 lub p = 1 lub p = 2 rząd jest równy 2 w pozostałych przypadkach rząd jest równy 3, b) rząd jest równy 2 dla każdego p 6 R\ c) dla p = 2 rząd jest równy 2, dla p *= 2 rząd jest równy 3; d) dla p = 1 rząd jest równy 1, dla p ^ 1 rząd jest równy 3; e) dla p = 1 rząd jest równy 2, w pozostałych przypadkach rząd jest równy 3; f*) dla

Szósty tydzień - przykłady

p = 2 rząd jest tówny 1, dla p = -2 rząd jest równy 3, w pozostałych przypadkach rząd jest równy 4.

5.6    a), d) liniowo zależne; b), c) liniowo niezależne.

5.7    a) liniowo niezależne; b) liniowo zależne

5.8    a) wymiar 3, baza {(2 1,1), (—1,1,2), (0,1, -1)),

b)    wymiar 2, baza {(1, —1. 1, —1), (1,2.0.1)};

c)    wymiar 4, baza (z³ -h 2r² + z,z² - z + 1,x³ + z²,2z² — 1}; d) wymiar 4, bazę stanowią wszystkie podane generatory.

5.9    a) dla p = — 1 i p = 2 wymiar jest równy 2, w pozostałych przypadkach wymiar jest równy 3; b) dla p = 1 wymiar jest równy 1, dla p = 0 lub p = — 1 wymiar jest równy 2, w pozostałych przypadkach wymiar jest równy 3.

Szósty tydzień

Twierdzenie Kroneckera Capellego (2.2).

Przykłady

• Przykład 6.1

W podanych układach równań liniowych określić (nic rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz liczby parametrów

	f *	-	y +	2 2 + i	= 1
a)	3x	-f	y +	2 - t	= 2
	i **	-	y +	5 Z *r t	= 4
	z	-	3 y	+ Z =	0
	2x	+	y	— z —	1
c) <	5 z	-	y	- 2 =	2
	z	-	10y	+ 4z =	-1
	z	+	y	+ 2z =	1

b)

d)

2 x	+	2 y	-	z + t =	1
X	-	y	-	z + 3f =	2
3x	+		-	4z — Ł =	0
		y	+	z + 3* =	0
2x	+	y	-	z — 3* =	2
X	-	ro	+	z + 2t =	-1
2x	+	3y	+	z + 3t =	1

Rozwiązanie

Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego układ równań liniowych z n niewiadomymi postaci AX — B może nie posiadać rozwiązań albo mieć dokładnie jedno rozwiązanie albo też mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Decydują o tym rzędy macierzy A układu oraz jego macierzy rozszerzonej [A B) i wtedy odpowiednio mamy rz A ^ rz [A B) albo rz.4 = rz [.4|#] = n albo też rz A = rz [/4|/lj = r < n. W ostatnim przypadku zbiór rozwiązań zależy od n-r parametrów.

a) Rozważmy następujące przekształcenie macierzy rozszerzonej układu

1 -1 2 1	1	uj — 3 ui j ^W1 - ^5uJl		1 -1		2	1	1
3 11-1 .5-15 1	2			0	4	-5	-4	-1
	^4 J			0	4	-5	-4	-1