66 67 (14)

66

'’*•**'

Układy równań liniowych

Rozwiązanie

Niech AY = B będzie niejednorodnym układem równań liniowych. AX = 0 odpowiadającym mu układem jednorodnym, W = [Y : AY = B) zbiorem rozwiązań układu niejednorodnego, zaś W₀ = {X : AX = 0) przestrzenią rozwiązań układu jednorodnego, a) Skorzystamy z twierdzenia mówiącego, że zbiór rozwiązań układu niejednorodnego ma

postać

W={X+Yo: X € Wo),

gdzie Yq jest dowolnym rozwiązaniem układu niejednorodnego Układ jednorodny odpowiadający danemu układowi ma postać

f _x + y + z-2t = 0 | 2x 4- y - * 4- t = 0

Rozwiązując ten układ otrzymamy, że z = 2z — 3i, y = —3z + 5/, gdzie z,t € R Dowolne rozwiązanie X układu jednorodnego ma więc postać

X = (2z — 31, —3z 4- 51, z, t),

gdzie z,t € R- Zauważmy teraz, że liczby x = l,y = l₍z = l,l=l spełniają układ niejednorodny, zatem jednym z rozwiązań tego układu jest wektor Vo = (1,1,1, l). Dowoine rozwiązanie układu niejednorodnego wyraża się więc wzorem

Y = X + Yo = (2z - 3< + 1, -3z + 5t + 1, z +1, 1 + 1),

gdzie z, i £ R Zbiór rozwiązań układu niejednorodnego ma zatem postać

W= {(2z-3t + 1,-3* 4-51 + 1,*4- 1,1 + 1) : z, t € i?} .

Zauważmy jeszcze, że rozwiązując układ niejednorodny bezpośrednio otrzymamy oczywiście ten sam wynik, bowiem

11 1 —2 1	«/2 - 2u»!	1 1 1-2	1	+ 1*2	10-2 3
21-1 213		0-1-3 5	1	WJ • (-1)	0 1 3-5

Stąd x = 2z - 31 4- 2, y = —3z + 51 — 1, gdzie z. 1 € R, więc

W = {(2* - 31 + 2, —3z 4- 51 - 1, z, i) : z.tę R}.

Podstawiając w powyższym zapisie *4-1 zamiast z oraz v+ 1 zamiast 1 otrzymamy zbiór W w pierwotnej postać:

W = {(2* — 3v 4 l, — 3* 4- 5v + l,n + 1, v + 1) : u, v 6 72} .

b) Skorzystamy z twierdzenia mówiącego, że zbiór rozwiązań niejednorodnego układu równań wyraża się wzorem

W = {lj Aj 4- tlX2 + . . . + l_n-rA_n-r + Yo ll,tj* • • • . łn-r € H} ,

gdzie Yo jest dowolnym rozwiązaniem układu niejednorodnego, a wektory Xi, A*, ..., X_n-r tworzą bazę przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego W₀. Najpierw rozwiążemy układ jednorodny odpowiadający danemu układowi, tzn.

{i + 2»-x+ s - 2t = 0 4 r 4- y 4- z + 1 = 0

6x + 5y - z + 2* - 31 = 0

Siódmy tydzień - przykłady 67

									3	1	4
r i	2	-1	1	-2	0	u, -2«*2	1	0	7		7 9	0
0	1	5	4	9	0			1	5	4	7 9
L	1	7	•?	7			0	1	7	7	7	0

Mamy

1 2 -1 1 -2

⁰ 1

— 4 ui j

1 2-1 1-2

4 1 10 1

.65-12-3

0 —7 5-4 9

0 .

«"3 - flu/j

0-7 5-4 9

Stąd wynika, że z = — —z + - j —-(,jf=-z--j+-<,a więc zbiór rozwiązań układu

i 7 7 7 7 7

jednorodnego ma postać

w* = {⁺ y⁵" \^Ł'“ \^s + ^; *>*•*£

= lin {(—3,5,7,0,0), (1, —4,0,7,0), (—4,9,0,0,7)} .

Ti2y znalezione generatory są zarazem bazą przestrzeni Wq. Oznaczamy je kolejno przez X\, -Yj, X$. Ponadto, porównując pierwszą kolumnę macierzy układa niejednorodnego z kolumną wyrazów wolnych łatwo zauważyć, że jest on spełniony przez liczby x = 1, y = 0, z = 0, j = 0. t = 0. Niech zatem wektor Yo = (1,0, 0,0,0) będzie wybranym rozwiązaniem układu niejednorodnego. Dowolne rozwiązanie tego układu jest kombinacją liniową bazy Xi Xz, X^ przestrzeni W₀ oraz Vo, tzn.

Y = t\X\ + <2^2 + ^3X3 + Yo

= «i(-3,5,7,0.0) + <j(l. -4,0, 7. 0) + <,(-4,9,0,0, 7) + (1,0,0,0 0),

gdzie <i, <2, <3 € R- Zatem

W= {(—3fj + f₂ -4t₃ -r l,5ti -4t₂ + 913,7^, 7t₂,7f,) : i_u <₂, t₃ € i*} .

t Przykład 7 4

Podać interpretację geometryczną zbiorów rozwiązań podanych układów równań liniowych:

( x + 2y — z — 1

a) < 4x - y + 2z = -2 ;

[ * + lly - 7* = 7

( —9x -f 3y — 6z = —12 b) < 3x - y + 2z = 4

( -6x + 2y - 42 = -8

Rozwiązanie

Zbiory rozwiązań niesprzecznych układów równań liniowych z trzema niewiadomymi mogą być tylko punktami, prostymi, płaszczyznami w przestrzeni R³ lub całą przestrzenią Z?³. Decyduje o tym liczba parametrów zbioru rozwiązań układu równań, która może być równa odpowiednio 0,1, 2 lub 3.

a) Przekształcamy macierz rozszerzoną układu równań. Mamy

-2

^2 - «W|

i 2-1 0-9 6

1 ' —6

•'2 :<-*)

7 .

-3 ~ “1

0 9-6

6 .

4*3 * -*n

12-1 0 3-2

Z otrzymanej postaci macierzy wynika, że układ jest niesprzeczny, a rząd jego macierzy jest równy 2. Rozwiązania tego układu tworzą zatem zbiór jednoparametrowy, a więc