DSC07345

108

Układy równań liniowych

izn dla p E R\ {-1.2}. Przypadki p = -1 oraz p = 2 przeanalizujemy rozwiązują: odpowiedni układ równań metodą eliminacji Gaussa. Dla p = — 1 mamy

1 1	1	1		1 1 1 1 1 '		1 0 0 I 0 1
1 1 0 1	1 1	1 1.	*2 • «1	0 1 1 | 1	•l — *J! —*	0 1 1 | 1 J

zatem r = 0, y = 1 — i, z € R, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dla p = 2 otrzymujemy

1	4	1	-2		■ i	4	1	2		■ 1	4	1	2 ■
1	1	-2	4	t»3 - mi —	0	-3	-3	6	■ł+lwj —	0	0	0	9
0	1	1	1 .		0	1	1	1		. 0	1	r	1.

W tym przypadku układ nie posiada rozwiązań, bowiem odczytując drugi wiersz ostatniej macierzy w jawnej postaci O-z + Op + O- z = 9 uzyskaliśmy warunek sprzeczny.

• Przykład 4.18

W wytwórni montuje się cztery wyroby A, B, C, D z trzech typów detali a, 6, c. Wyroby .4, B, C, D ważą odpowiednio 60 g, 60 g, 70g, 90 g. Obliczyć, ile ważą poszczególe detale, jeżeli ich liczba w produkowanych wyrobach podana jest w

	A	B	C	D
a	1	2	1	1
b	2	1	1	2
c	2	1	3	4

tabeli:

Rozwiązanie

Niech x,y, z oznaczają odpowiednio wagi w gramach detali a,b,c. Dane, którymi dysponujemy w tym zadaniu prowadzą do układu równań

a + 26 + 2c = 60 2a + b + e = 60 a + 6 + 3c = 70 a + U + 4c = 90

Wyznaczenie wag poszczególnych detali będzie możliwe, gdy rozważany układ równań będzie miał jednoznaczne rozwiązanie. Stosując metodę eliminacji Gaussa otrzymamy

1 2 2	60'		1	2	2	60'
2 1 1	60		0	-3	-3	-00
1 1 3	70	•i “*	0	-l	1	10
1 2 4	90.		.0	0	2	30.
			’1	2	2	60'
			0	0	-0	-90
		—f	0	-1	1	10
			.0	0	2	30.
			’1	2	2	00

»i

■u

w» • (-1)

•4

0 1 -1 0 0 1

-10

15

*14-wj •l - 3*1 - 3vj

	10 0	20'
-»	0 1 0	5
	.0 0 1	15.

Zatem detal a waży 20 g. detal b waży 6 g, a detal c 15 g.

Zadania

109

Zadania

• Zadanie 4.1

Dla jakich wartości parametru p 6 R podane układy równań są układami Cramera:

J (P + 1)¹ - PU = 1. ¹ \    2® + (p — l)y — 3p S

b)

2px + 4y - pz = 4 2¹ + y + pz = 1 ;

(4 + 2p)x + 6y + pz = 3

f p¹ + 3y + pz = 0 c) < —pi    + 2z = 3 ;

l ¹ + 2y + pz = p

d)

’ X	- y -	2	- t =	pr
—X	+ y -	=	- £ =	PV
—-x	n +	z	- £ =	PZ
. —X	— y -	Z	+ £ =	Pt

• Zadanie 4.2

Korzystając ze wzoru Cramera znaleźć rozwiązania podanych układów równań:

a)

i 5® - 2y = 6 . ! 3x + y = 4 ’

{x + 2y + 3z = 1 2® + 3y + z = 3 3® + y + 2z = 2

x + 2y + 3z = 14 4x + 3y - z = 7 x - y + z = 2

* Zadanie 4.3

Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z podanych układów równań:

a)

b)

3x + 7y + 2z + 4£ = 0 2y + z    = 0

® + 4 y + z = 1 ■ 5x + 3y + 2z    =0

x + 3y + 3z + 3t = 1 3® + y + 3z + 3£ = 1 3® + 3y -I- z + 3£ = 1 3® + 3y + 3z + t = 1

c)x + 2y — 4 = 3y + 4z — 6 = 5z + 6a = 7s+8£ = x + y + z + a + £ — 2 = 0.

* Zadanie 4.4

Rozwiązać podane układy równań metodą macierzy odwrotnej:

f 2x — m — 3    I ¹ t B ¹ = ⁵

4 1 2 2

x + y + z 2® — 3y + 5z -x + 2y - z

4

-5 ; 2

d)

y + z + t X + z + t x + y + t x + y + z

1

Zadanie 4.5

Znaleźć rzędy podanych macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych stopni