Układy równań liniowych9

108

Układy równań liniowych

0 0 1 ^ 0

1    0    0    -y    0

0 0 0 1 0

0 0 0 f 1 010 -f o

' 0	0	1	0	0	0'
1	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	1
0	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1

Rozwiązaniem tego układu równań są liczby x = 0, y — 1, z = 0, s = 1, t = 0.

Metody rozwiązywania dowolnych układów równań

• Przykład 4.15

Stosując metodę eliminacji Gaussa - Jordana rozwiązać podane układy równań:

r    2 x    +    y    -    z +    t    —    1

a) <    y    +    3z -    3t    =    1    ;

[    x    +    y    4-    z—    t    =    1

{x    + 2y    —    z    -    t =    1

x    + y    +    z    +    3t =    2    ;

3x    + 5y    -    z    +    i =    3

x + 2y + 3z —	21 -	u = 6
3x + 6y + 5z —	21 -	9u = 1
2x + 4y + 2 z	-	8u = -5
2x + 4y + 7z —	51 +	u = 17

x + 2y 4- 62 —    — lOu = 12

’ 2:r 4- y + z = 1 3x — y + 3z = 2 X + y + z — 0 ’

z -y+ 2=1

Rozwiązanie

Rozwiązywanie dowolnego liniowego układu równań postaci AX = B metodą eliminacji

Gaussa - Jordana polega na przekształcaniu macierzy rozszerzonej [A B] tego układu.

Celem postępowania jest, doprowadzenie macierzy [d|J5] do macierzy A \B j opisującej układ równoważny wyjściowemu i jednocześnie zawierający w lewym górnym rogu

macierzy A macierz jednostkową, a pod nią. jeszcze jeden wiersz złożony z samych zer.

Wówczas, zgodnie z twierdzeniem, możliwe będą trzy sytuacje:

1.    układ będzie sprzeczny, jeżeli element kolumny B wyrazów wolnych odpowiadający wierszowi zerowemu macierzy A będzie różny od zera,

2.    układ będzie miał tylko jedno rozwiązanie (i będzie równoważny układowi Cramera), jeżeli poza macierzą jednostkową w macierzy A nie pozostanie żadna inna kolumna,

3.    układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli poza macierzą jednostkową w macierzy A pozostanie choć jedna kolumna. Liczba tych dodatkowych kolumn będzie wówczas liczbą parametrów określających rozwiązanie układu.

Nasze przykłady rozwiązywać będziemy w oparciu o algorytm Gaussa - Jordana, ale zmo-

Przykłady

109

dyfikowany. bo wykraczający poza układy Cramera. Będziemy wykonywać następujące operacje na wierszach macierzy rozszerzonej:

•    zamiana między sobą i-tego i y-tego wiersza (oznaczenie w, *—> Wj),

•    mnożenie i-tego wiersza przez stałą c różną od zera (oznaczenie cwi),

•    dodanie do i-tego wiersza y-tego wiersza pomnożonego przez stałą c (oznaczenie Wi +

CWj),

które wystarczały dla układów Cramera oraz dodatkowo:

« skreślenie i-tego wiersza złożonego z samych zer (oznaczenie s 0),

•    skreślenie i-tego wiersza równego y-temu wierszowi (oznaczenie rty,: = vij),

•    skreślenie i-tego wiersza, który jest proporcjonalny do y-tego wiersza (oznaczenie

% ~ Wj).

Potrzebna tu jeszcze będzie operacja przestawiania y—tej kolumny na koniec niewiadomych (oznaczenie kj >—») z jednoczesnym przemianowaniem oznaczeń niewiadomych.

a) Przekształcamy macierz rozszerzoną układu równań otrzymując

'21-1 1	1'		'11 1-1	1'
0 1 3-3	1		0 1 3-3	1	K-;»
.11 1-1	1.		.21-1 1	1.

	r i	i	i	-1	1 ]
->	0	i	3	-3	1	U(3
	Lo	-i	-3	3	-1J

	[lll-l	1 ’		mm-2 2	o‘
— >	0 13-3	1	,,, ^i‘^;— -	0 co 1 co	i

Dany układ jest więc równoważny układowi

( x — ‘2z + 21 = 0 | y + 3z — 31 = 1 '

Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań z dwoma parametrami. Przyjmując niewiadome z i i za parametry otrzymujemy rozwiązanie tego układu

( x = 2z — 2t \ y « 1 - 3z + 31,

gdzie z,t 6 R.

b) Postępując podobnie otrzymujemy kolejne równoważne postaci macierzy rozszerzonej

'12-1-1 1113 3 5-1    1

1'		■ i	2	-1	-1	1'
2		0	-1	2	4	1
3.		.0	-1	2	4	0.

ri 2 -i -i	1]
0-124	1
1.0 0 0 0	[-1-