MATEMATYKA179

348 VII Macierze Wyznaczniki Układy równań liniowych

--—

'_x ^aII. ^ai2 ^at3,

\ ^a2l_y. ^a22, ^a23 /

^a.^^a^^aW.

-    S ^all ^aI2 ^a13    * +

—    ^ ^a2| ^a22 ^a23 ^ +

a)

3>2-(-l)0-6,

PRZYKŁAD 1.2 Obliczymy wyznaczniki: 3 -1

0 2

lub

b)

2-10 1 0 3 1 2    1

^{0 3} -f-l)!^{1 3} 2 I ^K }l 1

+ 0

1 0 I 2

-14,

2.-1,0

mC°J

_tP2 H ✓ 2 -To ^ V 0^3^ .

= 0+0-3-0-12 + 1 = -14. N. *

C)

0    -2 0 Ó 1    3 0 Ó		1 0 0		2 1
0 12 1	=-(-2)	0 2 1 3 0-2	=2	0 -2
3 -1 0 -2

-8.

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW Obliczanie wyznaczników na podstawie definicji mc zawsze jest tak proste jak w powyższych (odpowiednio dobranych) przykładach Przy obliczaniu wyznaczników często korzystamy z następujących własności

(I) Jeżeli w wyznaczniku zamienimy wiersze na kolumny wartość wyznacznika sit' nie zmieni

Oznacza to. żc wyznaczniki macierzy i macierzy do niej transpo nowancj są równe Zatem

1	-3 2		1	0 2
0	I -I	S.	-3	1 0
2	0 1		2	-1 1

(5) Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika pomnożymy przez liczbę t, to wartość wyznacznika też zostanie fX)mnożona przez t

	1	-2	1		1	-2	1
5	0	I	-1	=	0	5	-5
	2	0	1		2	0	1

(2) Jeżeli w wyznaczniku przestawimy dwa wiersze (kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną Na przykład

1	-3	2		0	1	-1
0	1	-1	- -	1 -3		2
2	0	1		2	0	1

(3) Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika set zerami, to wyznacznik ten jest rówtty O Na przykład

1    -3 2 OOO

2    O I

- 0.

gdyż wyznacznik ten zawiera , mówiąc krótko, wiersz zerowy.

(4) Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) są proporcjonalne (w szczególności równe) do elementów innego wiersza (kolumny) wyznacznika, to w yznacznik len jest równy 0.

Na przykład

1    -3 2 3 -9 6

2    0 1

= 0.

gdyż wyznacznik ten zawiera, mówiąc krótko, proporcjonalne

dwa

wiersze

Na przykład

(6) Jeżeli do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) tego wyznacznika pomnożone przez tę samą liczbę, to wartość wyznacznika nie zmieni się.