53316 MATEMATYKA187

364 VII. Macierze. Wyznaczniki, Układy równań liniowyc h

W,

w.

W,

Zatem

1	i	0
0	2	-2
2	-2	1
1	-3	0
l	ł	1
0	1	2
2	0	-2
I	-2	-3
1	ł	0
0	1	-2
2	0	1
!	-2	0
	X	“ —

	2	-2 I
a	-4	1 -2
	-4	0 -2
	1	2 1
=	-2	-4 -2
	-3	-4 -2
	1	-2 2
e	-2	ł -4
	-3	0 -4

-3 O -6 2

O,

O,

jest jedynym rozwiązaniem danego układu równań b) Obliczamy wyznacznik główny układu.

W

1	-1	0	-2
2	0	1	-1
0	3	-2	1
3	1	0	-1

2    1    3

3    -2 1

4    0    5

-7 -7 -4 -2

= -6

= -7*0.

Ponieważ jest to układ jednorodny, którego wyznacznik główny W*0. więc z twierdzenia Cramera wynika, że układ len ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest to rozwiązanie zerowe: x=y=z=u=0    ■

w

PRZYKŁAD 2.2 Metodą macierzową zastosowaną dowodzie twierdzenia Cramera rozwiążemy następujący układ równań

2x-y+z = 1, y-z = 1. x—z = 3.

Niech

A =	^r2 -I 1“ 0 1 -1	C*	'1' 1	x =	X y
	1 0 -1		3		z

Obliczam) wy znacznik główny układu:

2 -I 1

detA»W= 0    1 -1 «-2*0.

I 0 -1

Ponieważ W*0, więc, zgodnie z twierdzeniem Cramera, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Aby znaleźć to rozwiązanie zapisujemy układ w postaci macierzowej:

AX=C,

a następnie obie strony tego równania mnożymy lewostronnie przez A '(wiadomo, że A ¹ istnieje, gdyż detA = W*0) i otrzymujemy kolejno

A-'(AX)=A-'C, (A 'A)X=A''C, IX = A'C, X=A~'C. Ponieważ

“i 1 o 2 2

-i

więc

11-1 2 2

11-1 2 2

ił ⁰

-1

1    2

2    2

11-1 2 2

a po wykonaniu mnożenia po prawej stronie

f -1 -2

Rozwiązaniem danego układu jest więc trójka liczb: x = 1, y = -! z = -2.

Jeżeli wyznacznik główny układu (2,1) jest równy zeru, czyli W = 0, to układ ten rozwiązujemy stosując twierdzenie Kroncckcra-Capc-llicgo, o którym mówić będziemy w następnym punkcie.

UKŁAD m RÓWNAŃ O n NIEWIADOMYCH Rozważać będziemy teraz ogólniejszy przypadek układu równań liniowych - liczba równań i liczba niewiadomych w tym układzie nic muszą być równe (ale mogą) Układ taki zapisujemy w postaci: