MATEMATYKA183

356 VII. Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych

kolumny tworzymy minory drugiego stopnia Niektóre z nich są równe zeru, ale istnieje wśród nich taki, który jest różny od zera np | ⁽j *1*0.

Mówimy, że rząd macierzy A jest równy 2.

I ogólnie:

Mówimy, że rząd macierzy A = [a^ ]_in>n jest równy r i zapisujemy R(A) = r. gdy istnieje minor stopnia r tej macierzy różny od zera, a wszystkie jej minory stopnia wyższego, o ile istnieją, są równe zeru. Dodatkowo przyjmujemy, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru.

Z powyższego wynika, że

0£R(A)£min(m,n).

Obliczanie rzędu macierzy jedynie na podstawie definicji może być dosyć kłopotliwe. Zadanie to może nam ułatwić następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 1.2 Jeżeli w macierzy wykonamy dowolną z następujących operacji:

1)    zamienimy wiersze na kolumny,

2)    przestawimy dwa wiersze (kolumny),

3)    pomnożymy elementy' pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą, różną od zera, liczbę,

4)    do element pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę,

5)    pominiemy wiersz (kolumnę) złożony z samych zer,

6)    pominiemy jeden z dwu wierszy (kolumn) o elementach proporcjonalnych,

to rząd tej macierzy się nie zmieni

PRZYKŁAD 1.5 Obliczymy rzędy macierzy:

	2	0	3	-1	2		1	2	3	0	-1
a)	1	0	1	2	-3	. b)	-1	-2	-3	0	1
	()	0	0	0	0		2 *	4	6	0	~2
	1	1	1	-l	2'		l		0	1	\
\	2	1	0	1	1	A\	2	0	2	1	0
w	3	1	-1	3	0	. UJ	1	1	2	2	-1
	0	1	2	-3	3		-1	-1	-2	1	1

2 0 3 -1    2

a) R

I 0 I 2-3 0 0 0 0 0

W danej macierzy pominęliśmy zerową kolumnę i zerowy wiersz. Rząd otrzymanej niacicrz>' jest równy 2, gdyż łatwo wskazać minor drugiego

#0.

stopnia tej macierzy różny od zera np

b) R

1 2	3 0 -f		1
-1 -2	-3 0 1	= R	-1
2 ^4	6 0 -2		2 -
macierzy	pominę	iśmy k

= I.

proporcjonalne do kolumny pierwszej

c) R

1	1	1 -1		2		1 1	1	-1	2
2	ł	0	1	1	- n	0 -1	-2	3 -3
3	1	-1	3	0	— IV	0 -2	-4	6 -6
0	1	2 -3		3		0 1	2	-3	3
^R[	1 0	1 1 - -1 -2		1 3	■5]-	2, gdyż np.		1 1 0 -1

*0.

	1 -1	0	1	ll		1 -1	0	1		1	0	0	0
d) R	2 0 1 1	2 2	1 0 2 -1		«■ R	2 0 1 1	‘ 2 2	1 2	- R	2 1	2 2	2 2	-ł 1
	-1 -1	-2	1	1		-1 -1	-2	1		-1	-2	-2	2

- R

1    0    0

2    2    -1

I    2    1

-1    -2    2

-3, gdyż np

1 () 0 2 2 -1 1 2 1

Dana macierz nic zawiera (jak to było w przykładach a) i b)) wiersz)' lub kolumn zerowych, ani też wiersz) lub kolumn proporcjonalnych. Przy pomocy pierwszego wiersza utworzyliśmy zera w^r pierwszej kolumnie W otrzymanej macierzy pominęliśmy wiersze proporcjonalne do wiersza drugiego.

4*0

W danej macierzy pominęliśmy jedną z dwu proporcjonalnych kolumn i przy pomocy pierwszej kolumny utworzyliśmy zera w pierwszym wierszu Pomijając następnie jedną z dwu jednakowych kolumn otrzymaliśmy macierz, której rząd jest równy 3.    ■