20944 MATEMATYKA186

362 VII. Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych

w, w₂ w_n _

a,,x,+a,₂x₂+ ...+a,_nx_n =a_u-^ -fa,₂    +a,_n    =

«{ każdy z wyznaczników W_k rozwijamy według k-tej kolumny } =

⁼ \H^,,l^^e,Wl*¹ +cjWji+...+c„w*|)+

+a,₂(c,W,j +c₂W₂*₂ + ... + c_nW,;₂)f

■fH,n(ciW,;+c₂w;_n+...+c_n w;_n)] -

• ^[c,(a, ,w- + a_t2 W,, + ... + a_lnW‘_n) + +c₂(a_nW₂, +ai₂W₂₂ + ... + a,_nWjn) +

^(•nWi+auW;, +... +a,„w4)] =

= { zgodnie i wł.(7) wyzn. wyrażenie w nawiasie przy Cj jesl równe W, a wyrażenia przy C2.---,C_n są równe 0 } =

-^•c.W = c,.

Tak więc ^an^xi ^+a)2^x2⁺ ••• ^+ain^xn ^=ci> ⁰⁰ oznacza, żc liczby x₁,x₂.-*-.x_n spełniają pierwsze równanie układu (2.1).

Jeżeli w układzie (2.1) cj »c₂ *... = c„ = 0, to układ ten przyjmuje

postać

a_nX|-f... +a,_nx„ =0,

(2 3)

a„|X| + ...«fa_nnx_n *0

i nazywa się układem jednorodnym

Zauważmy, że każdy układ jednorodny postaci (2.3) ma rozwiązanie

*1 =0. x₂«0.....*_n = 0.

Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem zerowym Jednakże układ taki może mieć inne rozwiązanie tzw. niezerowc. Rozwiązanie (X|,X2,...,x_n) układu (2 3) nazywamy niezerowym, gdy przynajmniej jedna z liczb x_łtx₂.....x_n jest różna od zera

Z twierdzenia Cramera wynika natychmiast następujący

WNIOSEK Jeżeli wyznacznik główny układu jednorodnego (2.3) jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest to rozwiązanie zerowe:

x₁=0, x₂ = 0, ... ,x_n=0.

Wraz z tym twierdzeniem prawdziwe jest twierdzenie przeciwstawne do niego:

Jeżeli układ jednorodny (2.3) ma rozwiązanie niezerowe, lo wyznacznik główny tego układu jest równy zeru.

PRZYKŁAD 2.1 Rozwiążemy układy równań

x + y + u =	1,		x- y-2u	= 0.
y-2/. + u =	2,	u\	2x + z-u	= o,
2x + z. =	-2,		3y - 2/. + u	= o.
x - 2y - u =	-3;		3x + y - u	= 0.

a) Obliczamy wyznacznik główny układu (stosując metodę obniżania stopnia):

I -2    1

-2 1 -2 -3    0    -2

110 1

W

0 1-2 1 2 0 10 1 -2    0 -I

Z twierdzenia Cramera wynika, ze układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono określone wzorami Cramera

W,    W₂    W, W₄

W‘^y w*    w' ^u w

Obliczamy wyznaczniki W_k, k = L2.3.4, stosując również metodę obniżania stopnia:

2 1-21

-2 0 10 -3 -2    0 -1

	-1	-2 -1		i
s	2	1	2	H
	1	0	2	i

110 1

W,