45286 MATEMATYKA176

VII. MACIERZE. WYZNACZNIKI. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1. MACIERZE. WYZNACZNIKI

MACIERZE O macierzach, jako o szczególnym przypadku funkcji, wspomnieliśmy już w trzecim paragrafie rozdziału I. Nasze rozważania dotyczyć będą macierzy', których elementy są liczbami rzeczywistymi (ogólnie tak być nie musi).

Niech D={(i,k): i = l,2,...,m, k = l,2,...,n}. Każdą funkcję f odwzorowującą zbiór D w zbiór liczb rzeczywistych R nazywamy macierzą prostokątną o wymiarach mxn, przyczyni f(i,k) = a_ikt i = 1,2.....m, k = l,2,...,n

nazywamy elementami tej macierzy

Funkcję taką zapisujemy podając jej wartości w postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach w ten sposób, że wartość a_lk umieszczamy w i-tym wierszu i k-tej kolumnie:

^all ^a12    •••    ^aln

^a21    ^a22    •••    ^a2n

„^aml ^am2 ••• ^amn.

Macierze oznaczać będziemy pojedynczymi literami np. A, B i zapisywać będziemy krótko A=[a*]_mxn, ^a czasem jeszcze krócej

A ⁼ [^aik ]•

Wyróżnijmy następujące szczególne przypadki:

1) Jeżeli m=n, macierz nazywamy macierzą kwadratową, przy czym liczbę n nazywamy stopniem macierzy, a o elementach *1 l»^a22»***»^ann mówimy, & tworzą główną przekątną lej macierzy.

Zatem

A =

B

-I

-2

' " ⁰¹ [l 1]. c-[.i 1]

są macierzami kwadratowymi, przy czym A jest macierzą trzeciego stopnia, a B i C są macierzami drugiego stopnia.

2) Macierz kwadratowa, której wszystkie elementy stojące na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są zerami nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy na ogół literą I. Zatem

	l	0	0	0
[*?]■ •*-	0	1	0	u
	0	0	1	0
	^0	0	0	1

są macierzami jednostkowymi odpowiednio drugiego i czwartego stopnia.

3) Macierz, której wszy stkie elementy są zerami nazywamy macierzą zerową i na ogół oznaczamy literą O Tak więc macierze

O    °1 O J° ^{0 0} °1

°«“|o oj* ^U2"[o o o oj

są macierzami zerowymi

a^t =

_i o

4) Macierz, którą uzyskujemy z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny z zachowaniem ich kolejności nazywamy macierzą transponowaną do A i oznaczamy symbolem A^r Zatem i—* * \2 -1 31    -    ^{2 5}