Dziawgo; Formy kwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej 1

96    Jednorodne układy równań liniowych. Wartości własne, wektory własne.__1

11.6    Udowodnić, że jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to macierze A, A'¹ mn|i te same wektory własne. Jaki związek zachodzi między wartościami win snymi tych macierzy?

11.7    Dla jakiej wartości parametru cc wektor rozwiązań układu równań j< i wektorem niezerowym:

ax + y - z = 0 jx + ay + z = 0 . ax - y + az = 0

Ćwiczenia 12

Formy kwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej

t Klanie 1.

npU/ wzór formy kwadratowej f mając jej macierz:

1

a) A =

V2

2

1

V2

2

1

2

1

2 ,

-1

b) A =

1

-1

1

2

-1	1	2
2	-3	1
-3	0	-1
1	-1	2

Ho/wiązanie:

Ni. < li x = [x,,X₂,X₃].

I (\ ) xAx^r =

1

1

,x,,x₃]

V2

2

1 2

1 2 -1

x,

X,

\ + a/2 • x,x₂ + 2x,x^ + 4x_?x^.

13

^L2 3

Czytelnik zechce wykonać mnożenie macierzy.

Praktycznie, wzór formy kwadratowej znajdujemy w następujący sposób: przy kwadracie zmiennej wpisujemy odpowiedni element z głównej przekątnej macierzy, a przy iloczynie tnie \zanvm (lip X| \ >) odpowiedni podwo jony i jeiueiit \po. </ /•/ :eki(tncj.

X [X,,X₂,X₃,XJ.

• i \| i 2x₂ -i-2xjj 2xjx , i 2x,x, i i ■lx_lx,_l 6x,x , i 3x,x ,    ?x ,x.₍