Dziawgo; Formy kwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej 3

100 Formy kwadratowe, kanoniczna postać formy Icwadratowej

b) f(x,,x₂,x₃) = 2x² -2x²2 -13x₃ + 4x,x₂ -4x,x₃ -20x₂x₃ =

= 2(Xj + x₂ - x₃)²-4x₂ - 15x₃-16x₂x₃ = = 2(Xj + x₂ - x₃)² -4(x₂ + 2x₃)² + x₃ = = 2yf-4y²+y², gdzie

y, =x, +x₂ -x₃ ^< y₂ = x₂ +2x₃

y₃ = ^x3

Macierz otrzymanej postaci kanonicznej wygląda następująco:

2    0 0

A =

0-4 0 0    0 1

Zatem, forma kwadratowa f jest nieokreślona.

Zadanie 5.

Sprowadź formę kwadratową:

f(xj,x₂,x₃) = 8V2 •x₁x₂ - 16x; -2x² - 18x²

do postaci kanonicznej metodą wartości własnych i wektorów własnych on ■ wyznacz macierz przejścia.

Rozwiązanie:

A =

-16

4a/2

0

4V2

-2

0

0

0

-18

Znaleźliśmy macierz formy kwadratu wej f. Obliczymy teraz wartości wlasmi tej macierzy.

det(A - AJ) = det

-16 - X 4V2 0

4V2 -2 — X 0

0

0

-18 - X

-X(Z + 18)²

det(A — A,l) = 0 o X_{ = X₂ =-18 A₃ 0

Mamy zatem 3 wartości własne. Teraz wyznaczymy niezależne wektory własne dla poszczególnych wat taści własnych.

ISy, IKy,

K(y.,y ,.y,) A., yi X,y ’ i A ,y ’

/1 — A.-, ——18

(A-Ajl)x = 0 gdzie x = [x₁₅x₂,x₃]^T

2 Ajl 0		1 xf i_
\Jl 16 0		^X2	=	0
1 O o		_^X3 _		0

Otrzymaliśmy jednorodny układ równań, który rozwiązujemy.

X₂

= t

-V2

4

•t

gdzie t,s eR

X| =s

/ulem szukane wektory własne mają postać:

1		"0"
_V2	—
" 4	w2 =	0
0		1

Wektor Wj powstał z rozwiązania ogólnego poprzez podstawienie t=l, s=0. Wektor w₂ poprzez podstawienie t=0, s=l. Otrzymaliśmy dwa wektory własne, gdyż wartość własna Ai=-18 jest 'pierwiastkiem podwójnym wielomianu charakterystycznego.

1’oiiioważ otrzymane wektory są ortogonalne pozostaje nam je unormować. < yli:

w.

w.

2-^2

3

1

0

—'    1

0

0

1

A, 0

(A 4,l)x = 0, gdzie x = [x,,x₂,x₃]^T

16 4V2	0		^xi		"0"
Ą -2	0		^x 2		0
1) 0	18		X,		0

Otrzymaliśmy jednorodny układ równań, który rozwiązujemy.