Dziawgo; Formy kwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej 4

102

konny kwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej

< x₂ = t , gdzie t g R x₃ = 0

Zatem szukany wektor własny ma postać:

V2

4

1

0

w₃

Wektor w₃ powstał z rozwiązania ogólnego poprze: podstawienie t=l. Otrzymaliśmy jeden wektor własny, gdyż wartość własna X₃=0 jest pierwiastkiem pojedyn czym wielomianu charakterystycznego. Unormujmy wektor w₃.

W, =■

1 -

W o =

W-

1_

3

2V2

3

0

Niech x = G • y, gdzie:

2^2

G =

Zatem

Mamy zatem obliczone wartości własne i wektory własne. Przystąpimy do ostatniej fazy rozwiązywania zadania wypisując macierz przejścia G oraz postać kanoniczną naszej formy kwadratowej f.

Macierz G powstała przez wpisanie do kolumn unormowanych, ortogonalnych wektorów własnych. Ponieważ nasza forma kwadratowa ma następującą postać kanoniczną:

^f(^yl’^y2’^y3)⁼~^18y?~^18y2^+0y3 •

Zatem w dwóch pierwszych kolumnach macierzy G muszą być wektory własne odpowiadające wartości własnej A.₁=A.₂⁼-18 a w trzeciej wektor własny odpowiadający ^₃=0.

1

3

2y[2

0 -

I o

f(x,,x₂,x₃) = x¹Ax = (Gy) AGy = Zgodnie z teorią macierz G^TAG jest równa

y^TG^TAGy

diagonalnej macierzy Z zawierającej na głów nej przekątnej wartości własne macierzy A.

-18	0
0	-18
0	0

y ^{= _}18y? - 18y₂,

I

11 X

więc forma, kwadratowa f jest kanonicznie równoważna formie: (V |, y, y₃) = —18yf —18y²,. Ponieważ współczynniki formy kanonicznej są iii dodatnie, więc forma jest półokreślona ujemnie.

f V I) AN I A

i ' I Znaleźć kwadratową, symetryczną macierz formy kwadratowej f:

a)    f(x,,x₂,x₃) = 2x²{ + 4x₂ - 3x₃ + 2x,x₂ - x,x₃,

b)    f(x,,x₂,x₃,x₄) = 2x,x₂ +6x,x₃ -x,x₄ + x₂x₃ +x₂x₄ -5x₃x₄,

n    n

c) f(x„x₂,...,x_n) = £(x?) + 2£[(j-i)x_ix_jJ.

i=l    i,j=l

i <j

I \2 Znaleźć wzór formy kwadratowej mając jej macierz:

a) A

c)C =

-1	1	0
1	-1	2	?
_ 0	2	-1
" 2	-1	1	2
-1	2	4	-1
1	4	3	0

2-100

^{b) B=}hL’8^dziebij =

1    gdy i* j

2    gdy i = j

i M Zbadaj określoność formy kwadratowej stosując kryterium Sylwestera:

a)    f(xj,x₂,x₃) = xf +3x₂ + 2x₃ + 2x,x₂ -2x,x₃,

b)    f(xj,x₂,x₃) = -4xj^ -2x₂ +x₃ +2x,x₂ +2x,x₃ -4x₂x₃,

c)    f(x₁₅x₂,x₃) = 2x\ +3x₂ +4x₃ -2x,x₂ +4x,x₃ -3x₂x₃,

d)    f(x,,x₂) = -xf + x₂ + 6x,x₂,

e)    f(x,,x₂) = -4xf -x₂ + XjX₂,

0 f(x)= 2x\ + x] +9x₃ -2x,x₂ +6xjX₃ -2x₂x₃, g) f(x) = -2x, x;i 2x’    4x₄ + 2x,x₂ + 2x,x₃-

-2x₂x₃    2x₂x₄-4x₃x₄,

X , x

Ii) f(x)