Dziawgo; Formy kwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej 2

98 Formy Icwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej

Zadanie 2.

Znaleźć kwadratową, symetryczną macierz formy kwadratowej f jeśli:

a)    f(x,,x₂,x₃) = 4xJ + x₂ +2x₃ -4x₁,x₂ -2x,x₃ +8x₂x₃,

b)    f(Xj,x₂) = x₂ -5x,x₂ ,

n    n

c)    f(x,,x₂,...,x_n) = ^i-xf +2²x_ix_j .

i=l    ł,j=l

i<j

Rozwiązanie:

					" 1 1 1 ... 1
	" 4 -2 -f		0 -i^1		1 2 1 ... 1
a) A -	-2 1 4	,b) A =	2 5	,c) A =	1 1 3 ... 1
	-14 2		— 1 2
					1 1 1 ... n

Zadanie 3.

Zbadaj określoność formy kwadratowej stosując kryterium Sylwestera:

a)    f(x_1?x₂) = -xf - 4x₂ +2x,x₂,

b)    f(x,,x₂,x₃) = x] +3x₂ +3x₃ -2x,x₂ -2x₂x₃.

Rozwiązanie:

a)

M, = |-l| = -1 < 0

Znaleźliśmy macierz symetryczną formy kwadratowi7 I Badamy teraz znaki minorów głównych macierzy A.

Forma kwadratowa f jest ujemnie określa na dokładnie wtedy i tylko wtedy, gdy nil nory główne przyjmują wartości na pi <

1 = 3 > 0    mian ujemne i dodatnie (pierwszy mlnoi

ujemny!).

Zatem forma kwadratowa f jest ujemnie określona.

u, I =1 > O

I ,

1

-1

1

-1

O

-1

3

-1

3

-1

= 2 > O

O

-1

3

Forma kwadratowa f jest dodatnio określona dokładnie wtedy i tylko wtedy, gdy minory główne przyjmują wartości dodatnie.

= 5 > O

lii m Im ma kwadratowa f jest dodatnio określona.

i ulanie 4.

ul/ daną formę kwadratową do postaci kanonicznej przy pomocy metody "r lulania do kwadratu. Zbadaj określoność tej formy.

ul I(x.,Xo,x,j = x? +3x1 +3x? -2x,x, -2x.,x,

i»i l(x_l,x₂,x₃) = 2xf-2x₂-13x Mn/wiązanie:

" V^X2>^X3) =

M| i lx; +3x₃-2x,x₂ -2x₂x₃ =

I ,    x₂)“+2x₂ + 3x₃-2x₂x₃ =

+ 4x,x₂ - 4xjX₃ - 20x₂x₃

Metoda ta polega na odpowiednim grupowaniu składników i korzystaniu ze wzorów skróconego mnożenia.

Skorzystamy z tego, że:

^xi -2x,x₂ =(x, -x₂)^{1 2} -x₂.

Teraz 2x₂ -2x₂x₃ - 2(x₂ -yx₃)² —x₃ •

K ^x >)’ +2(x₂-j-x₃)²+22-x₃² = y² + 2y₂ + 2y y₃, gdzie

y, =x₁-x₂ ^< y₂ ⁼ x2 -ł^x3

y₃ =^x3

Im n i.- olrzymanej postaci kanonicznej wygląda następująco:

1	0	0
0	2	0
0	0	^2 i

1

■ a i u^-waż wszystkie elementy na głównej przekątnej są dodatnie (a jest to

2

......... diagonalna) foima Kwadialowa jest dodatnio określona (porównaj

I i \ lei mm Sylwestei a)