skanuj 2

III kolokwium z algebry - semestr letni WMS rok I grupa II

1. Dana jest macierz formy kwadratowej g w bazie kanonicznej IR³:

4	1 to	-2
1 to	1	2
1 ro	2	1

Zbadać określoność formy g oraz sprowadzić tę formę do postaci kanonicznej. Podać bazę, w której forma g ma postać kanoniczną.

2.    Pokazać, że jeżeli przekształcenie g pizestrzeni unitarnej skończenie wymia

rowej ma przekształcenie odwrotne, to także g* ma przekształcenie odwrotne oraz zachodzi związek:    = (g^-1)*.

Uwaga: Przekształcenie / jest odwrotne do g wtedy i tylko wtedy, gdy / o g = go f = Id.

3.    Dana jest przestrzeń R2M ^z iloczynem skalarnym wielomianów p = a\X² 4-b\x 4- Ci, q — a,2X² 4- b2X 4- C2, określonym wzorem: (p, q) = a\a2 4- 6162 4- C1C2, oraz wektor w = 2x4- 1 w tej przestrzeni. Znaleźć odległość wektora u = x 4 1 od przestrzeni generowanej przez wektor w.

4.    Znaleźć dopełnienie ortogonalne przestrzeni U = lin{{ 1,1,1,1), (1, —1, 1,1),

( — 1,1,1,—!)}. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni U.

5. Dana jest macierz endomorfizmu / w IR⁴ względem bazy kanonicznej:

2	0	0	0
1	-1	0	3
1	0	2	0
1	0	0	2

Znaleźć bazę, w której macierz endomorfizmu / ma postać .Jordana oraz podać tę postać. Wskazać podprzestrzenie Jordana. Podać nieosobliwą macierz P. taką, że J = P~^x AP.

POWODZENIA!!!

1