Każde zadanie punktowane jest w skali 0-10 punktów. Egzamin trwa 60 min.
Pokaż, że dla funkcji jednej zmiennej jej różniczkowalność w punkcie a jest równoważna istnieniu pochodnej tej funkcji w a.
1 Podaj tw. Greena dla całek krzywoliniowych skierowanych. Oblicz
ABCA
gdzie ABCA jest skierowanym dodatnio obwodem trójkąta o wierzchołkach A(0,0), B(2,0), C(2,l).
}.. Podaj definicję równania różniczkowego jednorodnego. Znajdź całkę ogólną równania
dla (*,y)*(0,0)
2 2
x + y
5. Podaj tw. o istnieniu i wzór na płaszczyznę styczną do wykresu funkcji n-zmiennych. Wykaż, że
płaszczyzna styczna do wykresu f (x,y) = — (c > 0) w dowolnie ustalonym punkcie
(a, b), gdzie a 0 i b & 0, tworzy z płaszczyznami układu współrzędnych czworościany o równych (niezależnych od wyboru punktu styczności (a,b)) objętościach.