Egzamin z Teorii 1 Semestr

Egzamin z Matematyki - cz. teoretyczna 1 scm. Elektrotechniki B, I termin 21 stycznia 2001

1.    Wypowiedz

a) twierdzenie? Uniżano Weicrst.ra.ssa.

I;) twierdzenie o ciągach monofonicznych.

.Jedno 7, tych twierdzeń uzasadnij.

Wykaż, że lim 0 (dla dowolnego n).

2.    Wypowiedz i udowodnij twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Napisz wzory na pochodne funkcji

- logarytmicznej (dla logarytmu naturalnego), wykładniczej (dla podstawy naturalnej (a).

Pokaż jak wzór na pochodna funkcji wykładniczej wynika ze wzoru na pochodną logarytmu naturalnego.

3.    Niech /« = /^.

Wyraz I₂ przy pomocy i\_

Oblicz f yi<lx.

4.    Niech / :< a, b >-» R będzie funkcją R-całkowalną w < a, b > i ciągła w X(, €<a,b> i niech F(x) = f* f(t)dt.

Napisz wzór na pochodną F w *₀.

Oblicz F'(x) jeśli F(x) — f_n^r f(t)dt, (gdzie x jest takie, że :r³ €< a, b >, o / :< a,b >-* R zakładamy teraz, że jest ciągła w < a,b >).