17 06 2009

Egzamin z Matematycznych metod fizyki i astrofizyki I

Pierwszy termin: 17.06.2009 r.

1.    (4 punkty)

Rozważamy przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku [a, 6]. Sprawdź, czy ||/(x)|| = max*.e(q$|/(z)| jest dobrze zdefiniowaną normą tej przestrzeni.

2.    (4 punkty)

Proszę udowodnić, że:

a)    wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste,

b)    wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

3.

(4 punkty) Wielomiany Hermite’a spełniają równanie różniczkowe Hermite’a d?    d

—- 2x—H_n + 2nH_n = 0.

dx²    dx

Wykazać ich ortogonalność w przedziale (—00,00) z wagą exp[—z²] opierając się na równaniu różniczkowym Hermite’a.

4.    (4 punkty)

Znaleźć rozwiązanie zupełne równania

A u(r, <f>) = — V2 u(r, <j>)

we współrzędnych biegunowych (r, <b) na płaszczyźnie.

5.    (5 punktów)

Dla układu dynamicznego:

Tt ⁼ '^r3x+2y’ ⁱit ⁼ '^f2x+y

a)    wyznaczyć położenie punktów krytycznych i dokonać ich klasyfikacji,

b)    podać w postaci parametrycznej rozwiązania na kierunkach własnych,

c)    narysować przestrzeń fazową układu z zaznaczeniem punktów krytycznych i kierunku wzrostu zmiennej t.