19 06 2004

Egzamin z metod matematycznych fizyki i astrofizyki (19.06.2004)

1. (4 punkty)

§ a. Pokazać, że norma

NI = \/(-\^x)

w przestrzeni unitarnej X spełnia następującą identyczność równoległoboku

I!¹ + y||² -f ||i — y||² = 2 (||r||² t ||y||²) -

Pokazać, że jeżeli /, g £ L²(a. b) i ot, (3 6 C to kombinacja liniowa ctf -r Pg £ L²{u, b).

^'2. (o punktów)

Podać definicję

_^_*a) operatora hermitowskiego.

-*-ł>) udowodnić, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste.

”\-.c) udowodnić, że wektory własne operatora łiermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne,

^-d) pokazać, że operator    --x

/ d. \

7"^ftó l f--' •

w przestrzeni Ir(-co.cc) jest hermitowski.

(4 punkty)

^Wielomiany Legendre^:a spełniają równanie różniczkowe Leger.dre^!a

dz

+ n(n -r 1)P₇. = 0.

Wykazać ich ortogonałność w przedziale [—1,1].

4. (4 punkty)

*7 — <■» 1 -»*4 A    *1m •    o    V«*C Y/^-*'    *«•. /»t,

zmiennych    ——

if.'

c² dt²

gdzie: c — prędkość rozchodzenia się fali.

(4 punkty)

Dla poniższego autonomicznego układu dynamicznego:

dz

= x -f- v.

dy

dt

ij-a) wyznaczyć punkty krytyczne i podać icli typ, ¥>) narysować przestrzeń fazowa, układu.