8 11 2001

Egzamin z metod matematycznych astrofizyki (8.11.2001 r.)

1.    (4 punkty)

cA'. Pokazać, że norma

1*1 =

w przestrzeni unitarnej X spełnia następującą identyczność rów-nolegioboku

II* + yll² +II* - yll² = 2 (||*||² + UkII²)

Zinterpretować geometrycznie powyższą identyczność w przypadku, gdy przestrzeń X = IR²

/B. Pokazać, że jeżeli /i, fa 6 L²(a, k) i a,p € C to kombinacja liniowa ctfi + Ph 6 L²(a, b).

2.    (5 punktów)

Podać definicję operatora hermitowskiego i

a)    udowodnić, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste,

b)    udowodnić, że wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne,

c)    dla jakich wartości n operator

^V ‘ dx^r‘

w przestrzeni Z²(-*o,-fes) jest hermitowski— udowodnić.

(4 punkty) •

Wielomiany Legendre^:a spełniają równanie różniczkowe Legendre’a

d_

dx

_2\ ^

+ n(n + l)J»„ = 0.

Wykazać bezpośrednio ich ortogonalność w przedziale [—1,1] opierając się na tym równaniu różniczkowym.

4. (4 punkty)

Podać klasyfikację następującego równania różniczkowego d²u[x,y) d²u(x,y)

dxⁱ

+ y-

dy²

= 0.

(4 punkty)

Dla autonomicznego układu dynamicznego o postaci: dx

dy

dt

a)    wyznaczyć punkty krytyczne i podać ich typ,

b)    narysować przestrzeń fazową układu.

5.