Egzamin z metod matematycznych astrofizyki (8.11.2001 r.)
1. (4 punkty)
cA'. Pokazać, że norma
w przestrzeni unitarnej X spełnia następującą identyczność rów-nolegioboku
Zinterpretować geometrycznie powyższą identyczność w przypadku, gdy przestrzeń X = IR2
/B. Pokazać, że jeżeli /i, fa 6 L2(a, k) i a,p € C to kombinacja liniowa ctfi + Ph 6 L2(a, b).
2. (5 punktów)
Podać definicję operatora hermitowskiego i
a) udowodnić, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste,
b) udowodnić, że wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne,
c) dla jakich wartości n operator
V ‘ dxr‘
w przestrzeni Z2(-*o,-fes) jest hermitowski— udowodnić.
(4 punkty) •
Wielomiany Legendre:a spełniają równanie różniczkowe Legendre’a
d_
dx
_2\ ^
+ n(n + l)J»„ = 0.
Wykazać bezpośrednio ich ortogonalność w przedziale [—1,1] opierając się na tym równaniu różniczkowym.
4. (4 punkty)
Podać klasyfikację następującego równania różniczkowego d2u[x,y) d2u(x,y)
dxi
+ y-
dy2
(4 punkty)
Dla autonomicznego układu dynamicznego o postaci: dx
dy
dt
a) wyznaczyć punkty krytyczne i podać ich typ,
b) narysować przestrzeń fazową układu.
5.