18 06 2008

Egzamin z Metod matematycznych fizyki i astrofizyki

Pierwszy termin: 18.06.2008 r.

1.    (4 punkty)

Pokazać, że norma ||x|| = \f{x\x) w przestrzeni unitarnej X spełnia następującą tożsamość:

II* + yf + II¹ - y||² =² (11*11’ + foli²) ■

W przypadku gdy X = IR² podać interpretacje geometryczną tej tożsamości - wykonać rysunek.

2.    (5 punktów)

Proszę:

a)    podać definicję operatora hermitowskiego,

b)    udowodnić, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste,

c)    udowodnić, że wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne,

d)    wykazać bezpośrednim rachunkiem, że operator -i-fi w przestrzeni L²(—oo, oo) jest hermi-towski.

3.    (4 punkty)

a) Korzystając z funkcji tworzącej

n\

F{t, x) = exp(—t² + 2tx) =    Hn(x)~-

71=0

sprawdzić, że H_n(x) spełniają równanie

d²

—H_n{x) - 2x—H_n(x) + 2nH_n(x) = 0.

4.    (4 punkty)

Znaleźć rozwiązanie zupełne równania

A u(r, 6) = a:7i(r, 9)

dla a < 0 we współrzędnych biegunowych (r, 9) na płaszczyźnie.

5.    (4 punkty)

Dla liniowego układu dynamicznego:

dx    dy

— =3x + 4y, _Tt=2x + y

a)    wyznaczyć punkty krytyczne i dokonać ich klasyfikacji,

b)    podać w postaci parametrycznej rozwiązania na kierunkach własnych,

c)    narysować przestrzeń fazową układu z zaznaczeniem punktów krytycznych i kierunku wzrostu zmiennej t.