Egzamin z metod matematycznych astrofizyki (14.OG.2002)

\^. (4 punkty)

A Pokazać, że norma

11*11 = \/ (*i*)

w przestrzeni unitarnej X spełnia następujący identyczność równoległoboku II* + !/l|² + ||a: — y||² = 2 (||x|j² + ||l/||²) •

Pokazać, że jeżeli f.tj £ L²(a,b) i a,0 6 C to kombinacja liniowa af + fig £ L'²(a,b).

2. (5 punktów)

Podać definicję operatora hermitowskiego;

a)    udowodnić, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste.

b)    udowodnić, że wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

c)    dla jakich wartości n operator jest hermitowski — udowodnić.

(4 punkty)

Wielomiany Legendreki spełniają równanie różniczkowe Legendreha

— 1(1-*') — P_n\ -r n[n + \)P_U = 0. az i    dx j

Wykazać ich ortogonalność w przedziale [—1,1]. W" (4 punkty)

' Dla funkcji Bessela J_n{x) (dla n całkowi

i spełniającej równanie różniczkowe

Tl~

x-

udowodnić, że

(a)    .7_7l_₁(₂r)-fJ_Tt+1(a-) = ^.7„(tr),

(b)    =    -**+■(*)), „ , ,

(c)    .7^(X) = 1 (.7₂(x) - Mx)).    -g^±4X±4^

5. (4 punkty)

Zapisać operator Laplace^!a na płaszczyźnie we współrzędnychJbiegunowych. Pozseparować równanie własne tego operatora

V'-V(r, <p) = Xip[r,x)

na część radialną i kątową. Znaleźć rozwiązanie równania „kątowego".