20 06 2001

Egzamin z metod matematycznych astrofizyki (20.OG.2001 r.)

1.

unkty)

Pokazać, że norma

IN = \A*I*>

s'

w przestrzeni unitarnej A* spełnia następującą identyczność rów-noległoboku

\

Zinterpretować geometrycznie powyższą identyczność w przypadku, gdy przestrzeń A' = R²

Udowodnić, że jeżeli /i,/2 6 X²(a. 6) i a, 0 € C to kombinacja liniowa a/i + /?/2 6 £²(a, b).

2. (5 punktów)

Podać definicję operatora hermitowskiego i

a)    udowodnić, że wartości własne opera:ora hermitowskiego są rzeczywiste,

b)    udowodnić, że wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne,

c)    dla jakich wartości n SIS operator

7«r«

cz

w przestrzeni Lr (-cc. 4-oc) jest hermitowski — udowodnić.

f$Ó (⁴ P^,Jllkt>')

Wielomiany Legendrea spełniają równanie różniczkowe Legenćre’a

w

dx

(1 -x*)4-Pr. tn(nrl)A=0.

02 •

Wykazać ich ortogonalność w przedziale [-1, i] bezpośrednio opierając się. na tym równananiu różniczkowym.

4. (4 punkty)

Znaleźć rozwiązanie równania Lap!ace‘a we współrzędnych walcowych przez separację zmiennych. •’

(4 punkty)

Dla autonomicznego układu dynamicznego o postaci:

dx

di

dy

dt

a)    wyznaczyć punkty krytyczne i podać ich typ,

b)    narysować przestrzeń fazową układu.