Egzamin 01 02 (termin II)

Egzamin poprawkowy z matematyki, 2 sem. WBWilŚ, r. 2001/2002

Nazwisko i imię........................................................................................... Grupa .

I. Część zadaniowa

1.    Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x³ 4- 8y³ — 6xy + 5.

2.    Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu

1 \n+i (^x + ^Ł)ⁿ

^    ’ §ⁿy/nTl'

zbadać jego zbieżność na końcach przedziału i określić jej rodzaj.

3.    Stosując współrzędne sferyczne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami x² + y² + z² = 2z i x² + y² = z² (dla x² + y² < z²).

4.    Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego y' — _x \ \ y = x spełniające warunek początkowy y(2) = 1.

5.    Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę j> xydx + xydy, gdzie K jest do

je

datnio zorientowanym brzegiem figury D = {(x, y) G 5?² : y/4 — O? < y < |rc|, —2 < x < 2).

6. Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego obliczyć <

dz, gdzie L jest

z(z² + 7T²)²

Li

dodatnio skierowanym okręgiem o równaniu \z + 7rż| = 1.

II. Część teoretyczna

T.l Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w calce podwójnej. Podać dowolny przykład takiej zamiany zmiennych. Zdefiniować i obliczyć jakobian podanego przekształcenia.

T.2 Podać definicję zbieżności szeregu liczbowego. Sformułować 3 dowolne kryteria zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Podać 3 przykłady szeregów zbieżnych spełniających te kryteria.

T.3 Podać definicję równania różniczkowego Bernoulli’ego. Omówić metodę rozwiązywania tego typu równania. Podać przykład.